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標(biāo)題: 0.999......到底應(yīng)不應(yīng)該等于1,？ [打印本頁]

作者: fanwort 時(shí)間: 2014-6-13 20:46
標(biāo)題: 0.999......到底應(yīng)不應(yīng)該等于1？
今天跟大家探討一個(gè)數(shù)學(xué)問題（別人提出的）：0.999...到底是否應(yīng)該=1,，如果你急著說：NO！請繼續(xù)往下看！
大家都知道：0.3333.....=1/3
兩邊同事乘以3得到：0.999.....=1/3*3=1
如果你仍然堅(jiān)持自己的看法,，那么請繼續(xù)...
0.999.....乘以10: 10*（0.999....）=9.999.....
兩邊同時(shí)減掉0.999： 10*（0.999....）-1*（0.999...）=9.99...-0.999...
得到了9*（0.999...）=9
什么數(shù)乘以9等于9,，當(dāng)然是1啦！

作者: xiuguoz 時(shí)間: 2014-6-13 20:55
0.333333=1/3,？,，

作者: LIAOYAO 時(shí)間: 2014-6-13 21:00
已役于物矣

作者: peace80 時(shí)間: 2014-6-13 21:24
按照數(shù)學(xué)極限理論，0.9999后面的省略號(hào)趨向于無窮大的時(shí)候就等于1.
不過如果用我們最有中國特色的回答,，那就是：看情況,。
哈哈，以上純屬灌水,，樓下繼續(xù),。

作者: 滬北機(jī)工 時(shí)間: 2014-6-13 21:34
對于這個(gè)問題，看過一個(gè)專門的解答,。和4樓說的一樣,，按照高等數(shù)學(xué)的極限理論,，這個(gè)等式確實(shí)存在。

作者: HC小丁 時(shí)間: 2014-6-13 21:37
小學(xué)生的可以做的題

作者: 王虎剩大將軍,！ 時(shí)間: 2014-6-13 21:38
也想了解

作者: 好方案 時(shí)間: 2014-6-13 21:40
偷換概念,。而已。

作者: muratec139 時(shí)間: 2014-6-13 21:42
球體積的計(jì)算公式,，也根據(jù)極限法得出來的,。0.999…=1，這個(gè)可以有~

作者: 我很呆 時(shí)間: 2014-6-13 21:47
誰告訴你0.333333就等于1除以3的,？

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-13 22:13
證明過程中的2大錯(cuò)誤,。
1. 呆俠和2樓的社友已指出，不贅述,。
2. 無限小數(shù)可以加減乘除么,？仔細(xì)想想再回答。

作者: fanwort 時(shí)間: 2014-6-13 22:27
無限小數(shù)就是通過除法得出來的,！當(dāng)然也可以乘除啦,！

作者: zhuxuwei8 時(shí)間: 2014-6-13 22:42
那我在想pi == 3.1415926.。,。,。？,？,？
此樓灌水，樓下繼續(xù),。,。。

作者: Cavalier_Ricky 時(shí)間: 2014-6-13 22:44
想起梅超風(fēng)了......

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-13 22:47

Pascal 發(fā)表于 2014-6-13 22:13 , F' L e; ]7 M& v9 u" g( k( P
證明過程中的2大錯(cuò)誤,。
8 S% w2 q( x9 E; p0 [8 d: s- b1. 呆俠和2樓的社友已指出,，不贅述。" S o3 Z4 J& l6 E/ O9 n
2. 無限小數(shù)可以加減乘除么,？仔細(xì)想想再回答 ...

第一個(gè)問題,。0.333........這樣的無限循環(huán)小數(shù)是否等于1/3。答案是肯定的,。因?yàn)槭紫�,，循環(huán)小數(shù)的定義就是“有理數(shù)的小數(shù)表示”。而像0.3333......這樣的無限循環(huán)小數(shù)恰好是1/3的小數(shù)表示形式,。這個(gè)是有據(jù)可循的,。
第二個(gè)問題，是否可以四則運(yùn)算,。答案也是肯定的,。
首先,，無限循環(huán)小數(shù)可以通過"分?jǐn)?shù)化法＂轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)。而分?jǐn)?shù)是可以四則運(yùn)算的,。所以,，這樣的小數(shù)也可以四則運(yùn)算。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-13 23:42

zerowing 發(fā)表于 2014-6-13 22:47
+ ?. C# `7 ?( Z' Z0 _! ~# ]第一個(gè)問題,。0.333........這樣的無限循環(huán)小數(shù)是否等于1/3,。答案是肯定的。因?yàn)槭紫�,，循環(huán)小數(shù)的定義就是 ...

問題一是我表述錯(cuò)誤,。
1. 首先0.9......=1和0.333.......=1/3在標(biāo)準(zhǔn)分析中，結(jié)論是對的,。
2. 我想表達(dá)的是0.333.......=1/3不能作為已知結(jié)論來證明0.9......=1,。0.333.......=1/3本身需要證明。

作者: 品豐-程 時(shí)間: 2014-6-14 01:07
本帖最后由品豐-程于 2014-6-14 01:09 編輯

0.99999999的N次方你看是不是1,？就像你做設(shè)備,，每個(gè)地方都差一點(diǎn),，材料差,，工藝差，熱處理差,，裝配差,，調(diào)試差，養(yǎng)護(hù)差,，那你這臺(tái)設(shè)備還能和別人的一樣好用,？

作者: 逍遙處士 時(shí)間: 2014-6-14 07:50
每隔一段時(shí)間，這個(gè)問題總會(huì)出現(xiàn),。

作者: 策源地 時(shí)間: 2014-6-14 12:00
是微積分原理就是這個(gè),，無窮小，無限細(xì)化處理

作者: 品豐-程 時(shí)間: 2014-6-14 12:04
@zerowing 大俠如果0.99999999999的分?jǐn)?shù)形式可以看作為1/3*3=1 這樣的確等于1,，這是分?jǐn)?shù)的計(jì)算公式規(guī)則決定的結(jié)果,。但個(gè)人認(rèn)為0.9999999999999的無限循環(huán)單不等于1，他只是無限接近于1,。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-14 12:07

zerowing 發(fā)表于 2014-6-13 22:47
第一個(gè)問題,。0.333........這樣的無限循環(huán)小數(shù)是否等于1/3。答案是肯定的,。因?yàn)槭紫�,，循環(huán)小數(shù)的定義就是 ...

1. 實(shí)數(shù)理論里，是沒有0.333....=1/3這個(gè)定義的,，這個(gè)結(jié)論是計(jì)算/證明出來的,。
2. 無限小數(shù)是不能直接四則運(yùn)算的,，當(dāng)然可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)再運(yùn)算，但LZ的證明過程是直接運(yùn)算的,。

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-14 12:51
本帖最后由 zerowing 于 2014-6-14 12:54 編輯

Pascal 發(fā)表于 2014-6-14 12:07
- y# X" I/ Y6 v* V2 ^; L1 u1. 實(shí)數(shù)理論里,，是沒有0.333....=1/3這個(gè)定義的，這個(gè)結(jié)論是計(jì)算/證明出來的,。* u1 f9 F! X$ y; L; H+ H
2. 無限小數(shù)是不能直接四 ...

1,。大俠說的這個(gè)沒有定義，俺不想過多的去爭,。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
這里有維基的網(wǎng)址,，至少從這里的說法看，0.3333...是被定義為分?jǐn)?shù)1/3的小數(shù)形式的,。
2,。對于四則運(yùn)算，無論是在證明0.999...是否等于1里,，還是在無限循環(huán)小數(shù)的逆反算分?jǐn)?shù)里都有直接使用,。俺不敢茍同大俠的這個(gè)觀點(diǎn)。
3,。附帶一問,，如果無限循環(huán)小數(shù)不能直接四則運(yùn)算，那么為什么無理數(shù)可以,？比如pi,。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-14 16:30

zerowing 發(fā)表于 2014-6-14 12:51
+ `% h8 [$ j5 F7 x$ E1 z/ \1。大俠說的這個(gè)沒有定義,，俺不想過多的去爭,。http://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal
; A/ Z' S% s: d- [8 ^這里有維 ...

1. 好吧，咱們不爭論1/3的定義問題,。
2. 我先回答第3問吧,，π的計(jì)算，比如π+π,，答案就是2π,，不可能把π展開來再相加。
3. 無限小數(shù)怎么和10乘,，2個(gè)無限小數(shù)怎么相加,，都是沒有定義過的運(yùn)算。盡管有時(shí)候答案是對的,，但運(yùn)算是非法的,。事實(shí)上，2 個(gè)無限小數(shù)要加要乘，從哪一位算起呢,？進(jìn)位怎么辦,？都是問題。
4. 1/9+1/9=2/9,，沒問題,；但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-14 17:26
截圖來自華師大張奠宙先生的《現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)》P109

作者: huhengjie 時(shí)間: 2014-6-14 17:41
理論與實(shí)際是存在差距的

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-14 18:23
LZ的論證雖然有問題,，但結(jié)論本身是正確的,。
怎么證明?品豐社友前面都寫出來一些了。
截圖來自克萊因《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》第一卷 P28

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-14 22:34

Pascal 發(fā)表于 2014-6-14 18:23 , j: i" X" m; R
LZ的論證雖然有問題,，但結(jié)論本身是正確的,。, [% }9 Q- b5 u
怎么證明?品豐社友前面都寫出來一些了。: ]# M) R1 i# S
截圖來自克萊因《高觀 ...

呵呵,大俠,你不覺得你引用的這段定義和之前的張先生的講法矛盾嗎?
既然無限小數(shù)不能四則運(yùn)算,那么又怎么冒出一個(gè)其差值無限小呢?如果0.1111....+0.11111....不能找到一個(gè)具體的數(shù)位進(jìn)行性計(jì)算,，那為什么1-0.9999....就可以呢,？這豈不成了雙重標(biāo)準(zhǔn)？
同樣的,，你也說了,，計(jì)算Pi就是直接算pi+pi，那么,，如果說無限循環(huán)小數(shù)的定義說成立,，0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么區(qū)別呢？
總之,，個(gè)人認(rèn)為,，討論一個(gè)數(shù)系,，無論是原理還是論證方法,，其引用最好出自一人。至少可以肯定張先生的理論同魏先生存在分歧,。而魏先生的理論,，其實(shí)是從另一個(gè)角度去闡述柯西序列。即,，有理數(shù)x和y之間的距離定義為絕對值|x − y|,，其中絕對值|z|定義為z和−z的最大值，因此總是非負(fù)的,。這樣實(shí)數(shù)便被定義為關(guān)于這個(gè)距離的具有柯西序列性質(zhì)的有理數(shù)序列,。也就是說，每一個(gè)實(shí)數(shù)都是一個(gè)柯西收斂的數(shù)列（x0,，x1,，x2，…）,。這是一個(gè)從自然數(shù)到有理數(shù)的映射,，使得對于任何正有理數(shù)δ,，總存在一個(gè)N，使得對于所有的m,、n > N,，都有|xm − xn| ≤ δ。（兩項(xiàng)之間的距離變得比任何正的有理數(shù)都要小,。）
另外,，可以一提的，在數(shù)學(xué)中,，如果一個(gè)定理可以被由公理證明,，且這個(gè)定理存在一個(gè)由其推出的充要推論，那么這個(gè)定理和推論都可以直接應(yīng)用,。那么1/3=0.33....是否屬于這樣的一個(gè)判定序列內(nèi)呢,？如果屬于，那么四則為什么成為無意義的呢,？
類似的例子比如說平行線定理及其推論,，如果說可以類比的話，作為公理,，我們同樣認(rèn)為平行線是兩條無線長度時(shí)都不會(huì)相交的直線,，那么同樣的，如果一條直線上存在有限距離的兩個(gè)點(diǎn),，且這兩個(gè)分別在兩條平行線上,，那么這條直線與平行線相交。如果存在無限距離的兩個(gè)點(diǎn),，那么這條直線是平行于平行線呢還是相交呢,？呵呵。因?yàn)�,，如果你一定要�?qiáng)調(diào)無限小數(shù)的四則運(yùn)算中因?yàn)椴荒苷业揭粋€(gè)確定的位數(shù)來進(jìn)行計(jì)算,，那么同樣的，這條具有無限距離的兩個(gè)點(diǎn)的直線,，同樣無法找到一個(gè)確定的距離,，或者說無法找到交點(diǎn)的確實(shí)位置，那么這種時(shí)候是平行還是相交呢,？
另外,，說句個(gè)人理解，張先生的說法實(shí)際上是一種悖論,。非錯(cuò)非對,，因?yàn)槟銖娜魏蝺蓚€(gè)相反的角度去論證都能得到一個(gè)合理的結(jié)果。所以，沒必要糾結(jié)于此,。在完備數(shù)系之中,，無論是四則還是定義，應(yīng)用即可,。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-15 09:45
本帖最后由 Pascal 于 2014-6-15 09:47 編輯

呵呵,，zero大俠，我試著解釋下,。
1. 無限小數(shù)不能四則運(yùn)算,，不代表不能進(jìn)行不等式運(yùn)算。0.111......<1,，數(shù)學(xué)上是承認(rèn)的,。同樣，魏先生算出來1-0.999...了么,？沒有,，但是他對差值進(jìn)行了不等式運(yùn)算。請?jiān)僮x下魏先生的話,。
2. 我在23樓有個(gè)補(bǔ)充說明,，“”但0.1111.....+0.1111.....=0.2222......就不行“，不是說這個(gè)等式不成立,，而是說這種直接加的運(yùn)算不行”,。
3. 0.333.....+0.333...和1/3+1/3有什么區(qū)別呢？0.333.....+0.333...在數(shù)量上等于2/3,，但這種直接加的運(yùn)算是非法的,。結(jié)論正確不代表運(yùn)算過程正確，這在數(shù)學(xué)中太常見了,。
4. 我也曾經(jīng)想過,，既然0.333.....+0.333...在數(shù)量上等于2/3，那可不可以自己來定義下無限小數(shù)的運(yùn)算規(guī)則,？理論上是可以的,，數(shù)學(xué)不就是如此嗎？當(dāng)然,，給出的定義不能與已有的公理體系相矛盾！不過我沒這個(gè)能力去定義,。
5. 平行問題,，我的回答是兩條線是平行的，也可以說它們相交于無窮遠(yuǎn),。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-15 11:13
截圖來自加德納的《無限過程——數(shù)學(xué)的分析的背景》P74~75, P143

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-15 11:14
剛沒粘貼上,。

作者: 何為機(jī)械 時(shí)間: 2014-6-15 14:52
感覺在鉆牛角

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-15 15:08

Pascal 發(fā)表于 2014-6-15 09:45 & |0 Y7 i0 ]) y' H) Z4 x
呵呵，zero大俠，我試著解釋下,。3 U. _ x X/ B! y2 o( P; X- g
1. 無限小數(shù)不能四則運(yùn)算,，不代表不能進(jìn)行不等式運(yùn)算。0.111......

P大,。爭論點(diǎn)貌似已經(jīng)清晰了,，只在一個(gè)四則運(yùn)算的存在意義上。呵呵,，這么討論挺有意思的,。
我說下我說的思路，首先,，不等式的存在沒有問題,，你可以說1與0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，這些都沒問題,。但是就如同說無限小數(shù)四則運(yùn)算一樣,，這種無限小的比較你也無法找到一個(gè)最終的“右位”，不是嗎,？因?yàn)橥瑯诱也坏揭粋€(gè)最終的“右位”,，那么1和0.999...的差值又該如何定義呢？魏先生的原話提到的是“差值”,，而這個(gè)值是如何得到的才是關(guān)鍵,。如果沒有四則這個(gè)前提，那么這個(gè)差值本身也沒有存在的意義不是嗎,？
所以,，我才會(huì)提到柯西，因?yàn)榭挛魇諗靠梢越忉屵@個(gè)過程,�,；蛘哒f等比級數(shù)收斂也可以解釋這樣的一個(gè)過程。因?yàn)橐粋€(gè)收斂的函數(shù)一定存在一個(gè)極限值,。
呵呵,。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-15 20:31

zerowing 發(fā)表于 2014-6-15 15:08 ! T" \9 y, W4 i' j5 J) _. I
P大。爭論點(diǎn)貌似已經(jīng)清晰了,，只在一個(gè)四則運(yùn)算的存在意義上,。呵呵，這么討論挺有意思的,。
2 \) v" |0 |5 U4 A我說下我說的思 ...

zero大俠：
1. 不等式不需要具體的差值,。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.2
由上面2個(gè)不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具體差值的定義,，就能把2個(gè)無限小數(shù)的差值控制在一個(gè)范圍了,。
2. 實(shí)數(shù)理論確實(shí)有好幾個(gè)體系,，但零俠肯定知道這幾個(gè)體系都是等價(jià)的。分析書上都有證明,。所以“討論一個(gè)數(shù)系,，無論是原理還
是論證方法，其引用最好出自一人”,，我覺得沒必要,。

作者: 茉莉素馨 時(shí)間: 2014-6-15 20:45

zerowing 發(fā)表于 2014-6-15 15:08
( I q3 D* y8 bP大。爭論點(diǎn)貌似已經(jīng)清晰了,，只在一個(gè)四則運(yùn)算的存在意義上,。呵呵，這么討論挺有意思的,。
* i8 o; c. T( v7 w我說下我說的思 ...

幾位大俠其實(shí)都是在討論實(shí)數(shù)系的構(gòu)造
記得中科大史濟(jì)懷的書里面是用無限小數(shù)構(gòu)造的實(shí)數(shù)系
而rudin的書里面,，使用cauchy sequence 和 cuting 來構(gòu)造的
總之，實(shí)數(shù)這個(gè)基礎(chǔ)還是穩(wěn)固的,，沒什么可爭論的
論壇里,，時(shí)不時(shí)就會(huì)有人拿這個(gè)問題出來討論一下，哈哈

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-16 00:24

Pascal 發(fā)表于 2014-6-15 20:31
0 |, S2 y$ D$ r7 E& b: w' Vzero大俠：
9 w0 U3 N2 h4 l U' }, ]1. 不等式不需要具體的差值,。比如0.2

1.你這么寫,，本身要承認(rèn)不等號(hào)兩側(cè)的可加減性的。你可以說我不用找到一個(gè)具體的“右位”去進(jìn)位,，但是卻是在應(yīng)用不等號(hào)兩側(cè)共加的性質(zhì),，不是嗎？如果這么寫是成立的,。那么這種性質(zhì)跟是否應(yīng)用不等式無關(guān),，只跟是否承認(rèn)加減性有關(guān)。那么同樣也可以寫：
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
也就是說,，這個(gè)關(guān)系中,，因?yàn)槌姓J(rèn)兩側(cè)共加的成立，所以,，0.666...恒等于0.333...+0.333...,。當(dāng)然，你仍然可以說,，只是等于,，而沒有進(jìn)行實(shí)際的四則。那么這就是我前面說的,，如果存在一個(gè)公理或者一個(gè)定理,，其存在一個(gè)充要的推論，那么這個(gè)推論就是可以被直接使用的,。那么對于上述等式,，其實(shí)質(zhì)就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢,？豈不是成了雙重標(biāo)準(zhǔn),？
當(dāng)然，你也可以繼續(xù)強(qiáng)調(diào)說,，兩個(gè)無限循環(huán)小數(shù)因?yàn)椴荒苷业阶罱K的“右位”,，所以用有限位的四則運(yùn)算不符合無限的要求。其根本在于不能進(jìn)行“右位”的起始,。而同樣的,，在進(jìn)行1與0.999...的差值比較時(shí)，實(shí)際上在引入一個(gè)“右位”,，即,，無論你找到多小的一個(gè)位數(shù)值，（1/10)^a, a屬于正整數(shù),，都一定存在這個(gè)差值b,，b<1(1/10)^a，即,，b一定為這個(gè)無限小值的右位,，而同時(shí)隱帶的一個(gè)條件就是，這個(gè)無限小值的右位如果可以被找到,，就可以依次進(jìn)行四則,。呵呵，沒錯(cuò)吧,。
那么這里就存在我說的要引用同一個(gè)源的理論的問題,。
對于通常可證的1=0.999...,，其基礎(chǔ)是實(shí)數(shù)的阿基米德性質(zhì),。也就是不存在非0無窮小，這也是魏先生在用一個(gè)精確的描述“差值”的原因,，“其差值小于任何一個(gè)設(shè)定的常數(shù)小值”,。換句話說，這個(gè)定義一定是在基于不存在非0無窮小的基礎(chǔ)上,，討論一個(gè)可以被設(shè)定的有限“右位”的情況,。而這個(gè)就是同張先生理論沖突的地方。張先生認(rèn)定了區(qū)間套,，而不肯定有限位的四則,，那么也就是說在這樣的一個(gè)區(qū)間套中，你不能設(shè)定一個(gè)有限“右位”,。所以,，二者不可能同時(shí)應(yīng)用的,。
同樣的，換句話說,，你承認(rèn)不等式及其性質(zhì),。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...這樣一個(gè)不等式實(shí)際上是不滿足本身定義的。
首先,，不等比式四則形式的基本是比較不等號(hào)兩側(cè)的實(shí)數(shù),。那么你可以說1<a，a為一個(gè)實(shí)數(shù),。1-0.999...<a-0.9999...,。這是成立的。而,，對于1-0.9999...同0.1或者0.001這樣的比較,，本身則需要證明。不是嗎,？因?yàn)�,，你并不承認(rèn)1與0.999..之間可以進(jìn)行直接的四則。那么,，在不等式兩邊去比較一個(gè)實(shí)數(shù)值同一個(gè)算式的大小是沒有意義的,。這就好似我不能說磚<刀。

總之,，大俠說的四則的運(yùn)算意義,，其實(shí)本身就是在討論一個(gè)區(qū)間套。你定義出一個(gè)區(qū)間套,，那么四則本身就要發(fā)生變化,。你定義的是一個(gè)限位，那么四則本身就是另一個(gè)系統(tǒng),。所以,，于我來說，我不能說服大俠接受可以四則的理論,，而大俠所敘述的理論本身于我來說卻相對矛盾,。哈哈。至于數(shù)系是否等價(jià),，至少目前知道的有一些是不等的,。比如P進(jìn)數(shù)。因?yàn)樵趐進(jìn)數(shù)中,，可以證明....999.99999.....這樣的無限小數(shù)是等于0的,。哈哈。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-16 10:49

zerowing 發(fā)表于 2014-6-16 00:24 + c$ `8 X8 \) \% W/ t& ^# U! g
1.你這么寫,，本身要承認(rèn)不等號(hào)兩側(cè)的可加減性的,。你可以說我不用找到一個(gè)具體的“右位”去進(jìn)位,，但是卻是 ...

zero 大俠，抱歉,，你這個(gè)帖子我沒怎么看懂,。
1. P進(jìn)數(shù),，我沒聽說過,，是實(shí)數(shù)理論之一么？
2. “承認(rèn)不等號(hào)兩側(cè)的可加減性”與“找到一個(gè)具體的“右位”去進(jìn)位”怎么就矛盾了,？
3. 我不承認(rèn)1與0.999..之間可以進(jìn)行直接的四則,，不代表我不能對差值的范圍進(jìn)行運(yùn)算啊。

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-16 13:54

Pascal 發(fā)表于 2014-6-16 10:49 . f4 E8 c% `' h3 C6 o
zero 大俠,，抱歉,，你這個(gè)帖子我沒怎么看懂。3 {% l8 B8 I7 O4 e7 Y
1. P進(jìn)數(shù),，我沒聽說過,，是實(shí)數(shù)理論之一么？/ M2 d" r' c% ]0 S8 ]$ ~# l) c# E* W
2. “承認(rèn)不等 ...

P大,，可能說得有點(diǎn)繞,。
1. p進(jìn)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)擴(kuò)展數(shù)域，但與常見的實(shí)數(shù)域拓展不同,。不過我對此的認(rèn)識(shí)也緊限于知道,。呵呵。但據(jù)說這個(gè)數(shù)域在前沿學(xué)科內(nèi)應(yīng)用很廣,。
2. 關(guān)于差值問題,。首先，只有當(dāng)你能判斷相比較的兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小時(shí),，你才能判斷其差值,。也就是所謂在一個(gè)數(shù)軸上，你要先能判斷出二者的左右關(guān)系,。其次,，當(dāng)你能判斷出左右關(guān)系后，你必須通過一個(gè)減法處理,，才能得到一個(gè)“差值”,。如果存在兩個(gè)實(shí)數(shù)ａ，ｂ,。你既不能判斷其大小,，又不能進(jìn)行減法，那么你該如何定義和比較ａ-b這個(gè)代數(shù)式呢,？這就是我在說的矛盾,。
同樣的,，對于1-0.99....這個(gè)算式，你既不能判斷其大小,，又不能進(jìn)行加減法,，你如何得到一個(gè)其差值小于0.1,0.01這樣的結(jié)果的呢？你不要說因?yàn)樗欢ū?.1小這種話,，因?yàn)檫@種說法在數(shù)學(xué)推理和證明里行不通的,。你可以說，1<1.1,。1-0.99..<1.1-0.99..
但卻不能得到1-0.99..<1.1-1,。對嗎？對于這樣一個(gè)不等式,，0.99..和1的大小在你證明前,，你是不能應(yīng)用其大小概念的。
然后說右位問題,，這里還要提那句,，對于阿基米德性質(zhì)的完備數(shù)系，不存在非0無窮小,。也就是說,，lim(1/10)^n=0，而不是一個(gè)找不到右位的小數(shù),。所以,，在這個(gè)前提下，魏先生的比較說法,，其實(shí)在說1與0.99...的差值是一個(gè)無窮小,，即0，而0是一定小于你能設(shè)定的任意小的實(shí)數(shù)的,。
這里,，我必須承認(rèn)一點(diǎn)，在存在進(jìn)位問題的無限小數(shù)運(yùn)算中,，這個(gè)所謂的右位其實(shí)是個(gè)麻煩,。比如0.77...+0.33...。這種情況符合張先生所說的右位進(jìn)位問題,。但是實(shí)際上卻不需要去找右位,。因?yàn)檫@樣的式子其實(shí)可以寫成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假設(shè)可以四則）。即實(shí)際上,，這種無限小數(shù)的運(yùn)算也在遵循基礎(chǔ)的整數(shù)運(yùn)算時(shí)的計(jì)算規(guī)律,，比如7+4=7+3+1=10+1=11。為什么要強(qiáng)調(diào)這個(gè)，因?yàn)殡m然我們常用的是10進(jìn)制計(jì)數(shù),，但實(shí)際上存在12進(jìn)制,，8進(jìn)制，2進(jìn)制等多種記數(shù)法,。所以,，四則運(yùn)算的進(jìn)位本質(zhì)上都是在分解和結(jié)合處一個(gè)個(gè)的可進(jìn)位數(shù)，然后再逐位寫出余數(shù)這個(gè)過程中進(jìn)行的,。而對于無限小數(shù),，其計(jì)算實(shí)質(zhì)也是如此。雖然,，對于無理數(shù)來說,，這樣的計(jì)算變得相當(dāng)困難。比如pi,。而對于這類無理數(shù)，實(shí)際運(yùn)算中,，多數(shù)時(shí)候都是按照有限位四則運(yùn)算的,。因?yàn)槟悴荒茏詈笾粚懸粋€(gè)4pi,5pi之類的代數(shù)。實(shí)際使用中,，你是一定要有所取舍的,。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-16 16:20

zerowing 發(fā)表于 2014-6-16 13:54
; w, j; H+ }, Y) SP大，可能說得有點(diǎn)繞,。 R- L- l" y+ i& b r/ e
1. p進(jìn)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)擴(kuò)展數(shù)域,，但與常見的實(shí)數(shù)域拓展不同。不過我對此的認(rèn)識(shí)也 ...

zero俠,，這個(gè)帖子寫得很明白,，謝謝！
我還沒想好怎么回復(fù)你,，可否讓我掛下免戰(zhàn)牌,？

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-16 22:47

zerowing 發(fā)表于 2014-6-16 13:54 : L; X% a4 y9 }0 k. c* l8 [& I
P大，可能說得有點(diǎn)繞,。* G; [1 P1 M0 q. Y! Z9 X) F
1. p進(jìn)數(shù)是有理數(shù)的一個(gè)擴(kuò)展數(shù)域,，但與常見的實(shí)數(shù)域拓展不同。不過我對此的認(rèn)識(shí)也 ...

zero大俠：
1. 數(shù)量比較是不需要具體差值的,，也就不存在假定最右一位的說法,。比如咱倆來比身高，零俠身高1.8......,，我身高1.7.....,。咱倆只要站一起，社友們立馬就知道誰高了，但是咱倆身高具體差值他們不知道,。社友們做了數(shù)量比較不等于他們計(jì)算了1.8....-1.7.....的差值,。計(jì)算差值只是比較的一個(gè)手段。
2. 證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了,，數(shù)量比較不一定非要具體差值的,。
3. 數(shù)學(xué)的證明，一步步都是有來歷的,，沒有定義的運(yùn)算不能算,，但下面幾個(gè)運(yùn)算是可以的，因?yàn)橛卸x,。

0.1....-0.1.....=0
1x0.1....=0.1.....
0.1.....+0=0.1.....

4. “如果存在一個(gè)公理或者一個(gè)定理,，其存在一個(gè)充要的推論，那么這個(gè)推論就是可以被直接使用的,。那么對于上述等式,，其實(shí)質(zhì)就是定理得充要推論，又緣何有無意義之說呢,？”
你這句話,，我承認(rèn)“如果存在一個(gè)公理或者一個(gè)定理，其存在一個(gè)充要的推論,，那么這個(gè)推論就是可以被直接使用的,。”
可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...說明了什么,？只能說明2個(gè)量相等,，能說明無限小數(shù)直接加是可以的？
比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....,，你能就此得出無窮項(xiàng)加法里結(jié)合律是可以用的么,？

作者: 少-俠 時(shí)間: 2014-6-16 22:52
馬克思教導(dǎo)我們：具體情況具體分析，我們要以辯證的目光來看問題
其實(shí)0.9999…… 與1二者是相互滲透相互轉(zhuǎn)化相互影響,。
在一定條件下,，0.99999……可以看作1 ，在一定條件下,，1又可以看作0.9999……
綜上 ,， 0.999999……就是1 得證

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-17 00:06

Pascal 發(fā)表于 2014-6-16 22:47
5 H; n9 r& F x; dzero大俠：
' v- q2 m4 ^9 x- n) Q" T }1. 數(shù)量比較是不需要具體差值的，也就不存在假定最右一位的說法,。比如咱倆來比身高,，零俠身高 ...

P大。我感覺討論越來越有意思了,。
1,。數(shù)量比較比一定需要差值,，因?yàn)橹灰袇⒄瘴锛纯伞５菙?shù)值比較不同,�,？梢越栌媚氵@個(gè)例子。（我沒有那么高�,。�,。A身高1米8，B身高1米7,，這樣兩個(gè)人站一起就知道差別,。但是如果我們討論二者身高差量同另外一個(gè)參照物，比如一顆手雷的比較時(shí),，直接的做法是把他們放一起,，再比較。而當(dāng)你不能把兩個(gè)比較對象直觀的放在一起時(shí)呢,？或者對比時(shí)看參照物的具體位置變動(dòng)呢,？這樣就沒有辦法比較了�,；蛘哒f,，A身高1米71，B身高1米7,。這種小差距不能辨識(shí)的情況呢？所以我才強(qiáng)調(diào),，不要說1-0.99...的差值一定比0.1小這樣的話,，因?yàn)檫@種直觀上的比較不能作為數(shù)學(xué)論證的依據(jù)。同樣的例子就是歌德巴赫猜想,。比如1+2=3,。如果就是直觀的講的話，那就不需要證明了,，不是嗎,？
所以，當(dāng)討論數(shù)值比較,，特別是差值比較時(shí),，你至少是要確定這個(gè)值的。
2,。關(guān)于這句“證明1-0.9...=0只需要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了”,。我感覺我們像是進(jìn)入了一個(gè)雞和蛋的哲學(xué)問題中。究竟是先有證明1-0.9...=0還是先有|1-0.9....|<任意給定正數(shù),。哈哈,。這么說吧，
我們先討論下|1-0.9....|<任意給定正數(shù)這句話。比如我給定一個(gè)正數(shù)0.1,，你該如何證明1-0.9....小于0.1呢,？你可以說，1-0.9=0.1,。1-0.99=0.01<0.1,。所以，1-0.99...<0.1,。但是問題就出來了,，你計(jì)算前兩個(gè)式子的時(shí)候，是有限位計(jì)算,，按找張先生的理論,，是有意義的。而問題就出在第三步上,。0.99...=0.99嗎,？0.99...>0.99嗎？0.99...<0.99嗎,？所有的這三個(gè)比較式你都不能直接使用,，你都必須先要證明一個(gè)確定的關(guān)系發(fā)生在0.99..同0.99之間。而如何確定,，這就是需要四則運(yùn)算的地方,。比如0.99...同0.99在小數(shù)點(diǎn)后的前兩位相同，但0.99..右側(cè)還有數(shù)位,。即0.99...=0.99+0.009...,，而0.009..>0，所以0.99..<0.99,。而這之中,，實(shí)際上你已經(jīng)在用一次四則運(yùn)算了。所以,，說這么多,，其實(shí)就是一句話，如果拋棄四則運(yùn)算本身,，|1-0.9....|<任意給定正數(shù) 這個(gè)問題不可證,。既然不可證，那么至少你不能用這個(gè)式子說明1=0.99...
接著就是1=0.99..的證明,，其實(shí)你可以去看各種的證明的方法,，有級數(shù)計(jì)算的，有錯(cuò)位相減的,。但是最終都是在一個(gè)進(jìn)行四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上,。比如說級數(shù)計(jì)算的,。0.99...=9*(1/10)+9*(1/10)^2....9*(1/10)^n。然后通過等比數(shù)列和法求的
0.99..=1-lim(1/10)^n=1,。而這其中,，其實(shí)也是在四則運(yùn)算。如果嚴(yán)格按照張先生的理論,，那么同樣,，9*（1/10）^n是找不到的右位，那么最后的lim(1/10)^n原則上也不應(yīng)該出現(xiàn),。說白了,，就是不可證。
總之,，通過假設(shè)推論,，如果因?yàn)檎也坏接椅欢穸ㄋ倪\(yùn)算的可行性，那么現(xiàn)有的多數(shù)證明本身都是不成立的,。1-0.99...同“任意給定正數(shù)”的比較就成了雞蛋問題,。哈哈。
3,。我不太明白大俠寫這三個(gè)式子同證明1-0.99..的差值和任意正數(shù)的關(guān)系有什么聯(lián)系,。
4。我寫的那個(gè)式子,，希望大俠看全,。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
其關(guān)鍵是第二個(gè)等號(hào)的右側(cè)。因?yàn)槟且徊糠值挠?jì)算是脫離小數(shù)但卻符合小數(shù)各數(shù)位四則的部分,。也就是說,，講0.33..級數(shù)話，然后各級數(shù)的分?jǐn)?shù)表達(dá)做加法,。換句話說，如果你承認(rèn)這種級數(shù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方法是對的,，這跟直接去計(jì)算無限循環(huán)小數(shù)的各數(shù)位是一致的,。因?yàn)椋?.33...+0.33...四則運(yùn)算的時(shí)候?qū)嶋H上是0.3+0.3+0.03+0.03+0.003+0.003+....。說白了,，無論你是否能找到右位,，級數(shù)計(jì)算和直接小數(shù)計(jì)算都是在這樣進(jìn)行的。唯一讓人疑惑的就是進(jìn)位,，但我之前闡述過了,，其實(shí)進(jìn)位并不是問題。

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-17 10:09

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 00:06 $ @! {$ D6 C9 B/ D8 B" ~5 Y
P大,。我感覺討論越來越有意思了,。
6 i6 s) j; A3 E, g' v1,。數(shù)量比較比一定需要差值，因?yàn)橹灰袇⒄瘴锛纯�,。但是�?shù)值比較不同 ...

1. 數(shù)值比較同樣不需要具體差值,。
假設(shè)咱倆穿越下，來到一個(gè)古代,，那時(shí)人們還沒有具體數(shù)的概念,，但有多少的概念。零俠你是元帥,，統(tǒng)領(lǐng)一大群兵,，還有一大群馬。我是你朋友,，跑過來看你,，你很高興，請我喝酒,。然后我問你一個(gè)問題,，零帥，你到底是兵多呢,，還是馬多呢,？你回答不了，因?yàn)槟菚r(shí)不會(huì)數(shù)數(shù),，但咱們還是想到了一個(gè)辦法,，讓每個(gè)兵去牽一匹馬。最后有兵沒牽到馬,，說明兵多,；有馬沒兵牽，說明馬多,；以上兩種情況都沒有,，說明兵和馬一樣多。
另外從歷史上看,，多少的概念比減法概念出現(xiàn)的要早很多,。所以說數(shù)值比較不需要具體差值。至于“小差距不能辨識(shí)的情況呢”,，放大呀,，數(shù)學(xué)最擅長這個(gè)了。
2.” 0.99...=0.99嗎,？0.99...>0.99嗎,？0.99...<0.99嗎？”
零俠后面有0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n,，同樣可以展開0.99.....啊,，很容易就能證明0.99...>0.99,。不存在雞蛋問題。
3. 下面3個(gè)算式只是想說明有些無限小數(shù)是可以運(yùn)算的,，只要有定義,。
0.1....-0.1.....=0
1x0.1....=0.1.....
0.1.....+0=0.1.....
4. “我寫的那個(gè)式子，希望大俠看全,。
1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3”
上面運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是極限,，并沒有定義/證明無限小數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。
5. “其實(shí)進(jìn)位并不是問題,�,！币�?yàn)樵蹅冇懻摰?/3、1/9有點(diǎn)特殊,，循環(huán)節(jié)只有1位,。循環(huán)節(jié)不同的小數(shù)怎么加？1/3+π怎么加,？

作者: zerowing 時(shí)間: 2014-6-17 14:20

Pascal 發(fā)表于 2014-6-17 10:09 + t$ n/ k8 h6 v) R( F, o$ i
1. 數(shù)值比較同樣不需要具體差值,。2 A @' k! v! ]+ z5 n6 Q9 N
假設(shè)咱倆穿越下，來到一個(gè)古代,，那時(shí)人們還沒有具體數(shù)的概念,，但有多少 ...

1。呵呵,，你的例子很有意思,。但是還是那句話，不能作為一個(gè)定理來應(yīng)用于證明,。不扯那么遠(yuǎn)的例子,，就說1和0.99..的差值，這么說,，我們不四則,，也不知道差值究竟有多少，然后我給了一個(gè)小實(shí)數(shù),，0.000....001,，在1的前面有n個(gè)，或者無限個(gè)零,。那么你該如何比較這個(gè)差值和這個(gè)小實(shí)數(shù)的大小呢？你可以證明,，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等,，但是推倒無限位的時(shí)候，你既不能通過四則運(yùn)算得到一個(gè)實(shí)際的差值,，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個(gè)差值的結(jié)論,，那么你該怎么辦呢,？如果我們把這個(gè)推廣到那個(gè)人和馬的例子上。比如人很多,，馬也很多,。前面不斷的有人在牽馬，后面還有很長的隊(duì)在等待牽馬,，而檢查的人在檢查到一半的時(shí)候就已經(jīng)說不清究竟誰牽過馬,，誰沒有了。那么這種情況,，你還有辦法比較嗎,？另外，這個(gè)例子其實(shí)是在一個(gè)參照系下進(jìn)行的,。當(dāng)你換了參照系呢,？比如那個(gè)著名的新龜兔賽跑的例子，烏龜和兔子兩人從一點(diǎn)出發(fā)自東向西跑,，裁判是太陽,。最后的結(jié)果就是烏龜比兔子跑得快。哈哈,。這也是為什么我說這樣的所謂可比性不能作為證明的依據(jù)的原因,。
2。呵呵,，我希望你再看下我的話,。0.99....可以通過級數(shù)展開，但是分?jǐn)?shù)展開的本身實(shí)際上等價(jià)于小數(shù)逐位展開的本身,。換句或說,，220就等價(jià)于200+20+0, 等價(jià)于2*100+2*10+0*1。同樣的,，0.3165=0+3*（1/10）+1*(1/10)^2+6*(1/10)^3+5*(1/10)^4也等價(jià)于0+3*0.1+1*0.01+6*0.001+5*0.0001,。這樣的式子恒等價(jià)，因?yàn)檫@是實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本法則,，即逐位安置,。而逐位安置本身就是在應(yīng)用四則運(yùn)算。所以,，如果說無限小數(shù)不能進(jìn)行四則運(yùn)算,，那么同樣的，0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形勢,。因?yàn)槟愫竺娴臒o限位數(shù)該如何相加呢,？是否會(huì)有進(jìn)位呢？是否在某一位,，9*（1/10）^n=0了呢,？既然不能這樣寫,，那么還是那個(gè)問題，你怎么比較呢,？
3,。這三個(gè)例子其實(shí)不是在說無限小數(shù)可以運(yùn)算，而是在說任意實(shí)數(shù)的一個(gè)通性,。這個(gè)通性本身跟四則運(yùn)算沒有什么關(guān)系,。
4。那個(gè)式子的關(guān)鍵在于逐位安置,，然后逐位相加,。所以才有2*3*（1/10）的寫法。就像我前面說的,，逐位安置是實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本法則,。如果你承認(rèn)這種逐位相加，那么跟你在運(yùn)算0.33...+0.33..的逐位相加有什么區(qū)別呢,？只是因?yàn)橐粋€(gè)是分?jǐn)?shù)的逐位形勢一個(gè)是小數(shù)的逐位形勢嗎,？這才是這個(gè)長等式要表述的問題。跟級數(shù)也好,，跟極限也好,，都沒有關(guān)系。本質(zhì)是數(shù)字構(gòu)成,。
5,。我在更早的回復(fù)里提到過，進(jìn)位計(jì)算對于無限循環(huán)小數(shù)不是問題,，對于無理數(shù)比較麻煩,。而實(shí)際上，即便不使用小數(shù)形勢進(jìn)行計(jì)算,，你依舊沒有辦法計(jì)算無理數(shù),。比如1/3+Pi，他究竟是多少呢,？或者說他究竟等于一個(gè)什么像的無限不循環(huán)小數(shù)呢,？同樣的，如果你不用1/3的小數(shù)形勢0.33...同Pi的有限小數(shù)形勢比如3.14159進(jìn)行四則運(yùn)算,，你有什么辦法從1/3+Pi這個(gè)式子中得到一個(gè)數(shù)值解嗎,？沒有！你不僅得不到一個(gè)無限右位的解,，也得不到一個(gè)有限右位的解,。不是嗎？

作者: Pascal 時(shí)間: 2014-6-17 21:50
本帖最后由 Pascal 于 2014-6-17 21:56 編輯

zerowing 發(fā)表于 2014-6-17 14:20
3 E( ]0 X5 z& ?) m2 p2 F2 r, [1。呵呵,，你的例子很有意思。但是還是那句話,，不能作為一個(gè)定理來應(yīng)用于證明,。不扯那么遠(yuǎn)的例子，就說1和 ...

zero大俠：

1. 故事,，而且還是虛擬的故事自然不能當(dāng)定理用,。可是我用的方法是可以當(dāng)定理用的,。

因?yàn)槲以?font face="Times New Roman">2個(gè)集合的元素之間建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系,。一一對應(yīng)準(zhǔn)則是康托爾集合論的基石，集合論與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的關(guān)系我
就不說了,。

2. “ 0.000....001,，在1的前面有n個(gè)，或者無限個(gè)零”,，無限個(gè)零說法是不對的,，具體見截圖--最后一位。

3. “你可以證明,，1-0.99..的有限位差值小于0.1,0.01等等,，但是推倒無限位的時(shí)候，”
 為什么要推到無限位呢,？我只要證明│ 1-0.9...│ <任意給定正數(shù)就行了,，只要你給定了一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)就固定下來了,，我肯
 定能證明│ 1-0.9...│<這個(gè)數(shù),，按照實(shí)數(shù)系的阿基米德性質(zhì)，就能得到│ 1-0.9...│=0,。

4. “你既不能通過四則運(yùn)算得到一個(gè)實(shí)際的差值,，又不能通過所謂的觀察法得到差值小于另一個(gè)差值的結(jié)論，”
怎么不能得到差值小于另一個(gè)差值,？見截圖--實(shí)數(shù)的比較,，來自張筑生的數(shù)學(xué)分析。

由比較規(guī)則輕松可得0.9....>0.9或0.99或0.999,。

5. 實(shí)際生活中,，如果零俠有個(gè)幾萬兵馬，我那個(gè)方法確實(shí)很難執(zhí)行,；如果零俠只有幾十兵馬,，幾分鐘結(jié)果就出來了。不過從數(shù)
學(xué)上看，幾十兵馬可以用這種方法判別多少,？那幾萬兵馬同樣可以用這種方法判別多少,！

6. “0.99...就不能寫成0+9*0.1+9*0.01+9*0.001....這種形式。因?yàn)槟愫竺娴臒o限位數(shù)該如何相加呢,？”
為什么要硬加呢,？無窮級數(shù)和難道是一項(xiàng)一項(xiàng)加出來的？

7. “那個(gè)式子的關(guān)鍵在于逐位安置,，然后逐位相加”

逐位安置我承認(rèn),，可為什么要逐位相加呢？理由同第6點(diǎn),。

8. “如果你不用1/3的小數(shù)形勢0.33...同Pi的有限小數(shù)形勢比如3.14159進(jìn)行四則運(yùn)算,，你有什么辦法從1/3+Pi這個(gè)式子中得到一個(gè)
數(shù)值解嗎？”

有一個(gè)很用力的近似計(jì)算工具,，叫逼近,。數(shù)值解，可以呀,，你要精確到幾位小數(shù),？

零俠可以回顧下人類認(rèn)識(shí)π的歷史，從周三徑一開始,，雖然人們不知道π具體數(shù)值,，甚至不知道π是無理數(shù)，但已經(jīng)把π控制在
3~4了,，到劉徽的割圓術(shù),，就可以把π控制在很精確的范圍了；π可以逼近,，π+1/3同樣可以逼近,。

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