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標題: 公理——數(shù)學的基礎 [打印本頁]

作者: 掃街 時間: 2014-10-16 11:19
標題: 公理——數(shù)學的基礎
在傳統(tǒng)邏輯中,，公理是沒有經(jīng)過證明，但被當作不證自明的一個命題,。因此,，其真實性被視為是理所當然的，且被當做演繹及推論其他（理論相關(guān)）事實的起點,。當不斷要求證明時,，因果關(guān)系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理,。通常公理都很簡單,，且符合直覺，如“a+b=b+a”,。
不同的系統(tǒng),，會預計不同的公理。例如非歐幾何的公理,，和歐氏幾何的公理就有一點不同,。比如說我們看歐式幾何。在幾個簡單的公理假設下,，我們可以得到一系列的結(jié)論,，很多是深刻的，甚至是反直覺的,。在建立這個模型之后,，一個重要的問題就是我們需要幾個公理來建立這個模型。比如歐式幾何的每個公設是可以由其他公理得出的一個定理/結(jié)論,？還是必須也是一個公理,？
比如歐式幾何里“過給定直線外一點，有且僅有一條直線與之平行”在很長時間內(nèi)是不清楚它的位置的,，后來發(fā)現(xiàn)對于歐式幾何,，你可以認為是這個體系的“公理”，只有認定它,，才有后來的美妙結(jié)論,。
沒有它呢？那時你就進入了另一個模型,，你會得到其他的美妙結(jié)論：）
所以,，在不同的公理假設下，我們得到了不同的數(shù)學體系,，以此為基礎,，我們就可以得到對現(xiàn)實和對數(shù)學本身的各種模型,。這種公理化的一個好處是，當你覺得現(xiàn)在的數(shù)學模型并不適合現(xiàn)實,，或者并不滿足理論發(fā)展需要時,，有可能只是你假設了太多的公理前提，換一套公理,，換一套前提,，你就能得到很不一樣的數(shù)學體系，原本的困難可能就很容易解決了,。
不證自明性是公理的特點,，這也是為什么數(shù)學家質(zhì)疑歐幾里得的第五公設——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當（比如第一條公設：任意兩個點可以通過一條直線連接）,，而非歐幾何的建立,，也正說明了第五公設的不必要性。
從一方面說,，公理也可以看作是對于一些一般經(jīng)驗的總結(jié),，這些總結(jié)是無可爭議的正確的，還用第一公設說,，“任意兩個點可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義,，總之兩點之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？）,，這既符合直覺,，也是簡單明確的事實。
從數(shù)學邏輯的角度,，要證明一個定理就要證明導出這個定理的定理,，進而要證明導出導出這個定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個定理串,，如果這個過程無限回溯顯然是不可接受的,，必須要有一些“東西”作為這個定理串的源頭，回溯的過程終止與這個源頭,，這個源頭我們就說它是“公理”，當然如果這個源頭與某條已知公理違背,，則這一串就都是假命題了,。
扯遠了，回到公理上來,，形式主義數(shù)學家如希爾伯特,，就通過建立形式化公理體系，把數(shù)學帶到了一個更加嚴密的世界中來了,。每一套公理體系中的公理,，必須互相獨立,，且相容，否則就有矛盾了,。所以一個公理背后是一套公理體系,，這樣就構(gòu)成了一套數(shù)學的基礎。
數(shù)學的圖景也沒有那么統(tǒng)一的,，一套非偶的公理體系,，就一個非偶幾何空間（當然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學統(tǒng)一了.....可不可以不要這么強大嘛~~）；一個連續(xù)統(tǒng)假設,，分出兩個數(shù)學的世界,，
總之公理，公理體系,，就是數(shù)學的的底樁,。

點評：
那問題就來了，三角形的內(nèi)角和為什么是180度

作者: 鬼魅道長 時間: 2014-10-16 11:58
倒時差中,，無聊ing
證明：任意三角形內(nèi)角和為180°
證：設三角形三端點為A,B,C,，其對應邊為a，b,，c
   通過A點做一條直線l,，使 l 與邊 a 平行
   由平行線定律可知，角BCA與角CAl 相等,，角CBA與角BAl 相等
   由圖中可知,，角CAl+角BAl+角CAB組成直線l
   由公理：直線夾角180°，
   可知任意三角形內(nèi)角和180°
證完

l 是雙向的,，所以其實這個證明不完整,，懶得再畫圖了，就這樣吧,。
今兒個我真閑,，哈。

作者: 米fans 時間: 2014-10-16 12:08
大蝦好功力

作者: 探索號QM 時間: 2014-10-16 12:54
建議大家參考維基百科---球面三角學.
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8

作者: pain 時間: 2014-10-16 12:57
三角形的內(nèi)角和是180度是定理而不是公理,。
這個不用解釋,。

作者: Pascal 時間: 2014-10-17 11:55
還有基本概念也是數(shù)學的基礎。
就拿咱們熟悉的歐氏幾何為例,，在定義,、公理的基礎上，才能推出后面的命題,。
定義就是概念,。

作者: lglabc2008 時間: 2014-10-17 21:54
學習了

作者: 三八大蓋 時間: 2014-10-18 10:46
我怎么記得上中學的時候老師給過證明

作者: 405452975 時間: 2014-10-18 16:07
學習！！

作者: 樂小白 時間: 2014-10-19 08:51
這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明,，前提是認可平行線定理,，當然也可以先求證平形線定理。
看到樓主的問題讓我想起來高中時候的一個問題：1/3=0.33333…………無限循環(huán)根據(jù)等式定理兩邊同乘以3得出的是3/3=0.99999999……無限循環(huán),，那么問題來了：1=0.99999……無限循環(huán)是怎么解釋的,？！

作者: Pascal 時間: 2014-10-19 12:22

樂小白發(fā)表于 2014-10-19 08:51
$ |1 X1 M# p- |這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明,，前提是認可平行線定理,，當然也可以先求證平形線定理。
) i* K# @( q' z& u5 ^看到樓主的問 ...

截圖來自張奠宙的《現(xiàn)代數(shù)學與中學數(shù)學》P109

作者: Pascal 時間: 2014-10-19 12:36

樂小白發(fā)表于 2014-10-19 08:51
' _% h" I* a& w* B* `( `' k" j. t這個問題畫個圖出來看很明顯就能證明,，前提是認可平行線定理,，當然也可以先求證平形線定理。+ @8 Y1 V8 T( d# x% _4 @; N1 w2 L
看到樓主的問 ...

加德納的《無限過程——數(shù)學的分析的背景》P74~75, P143

作者: 樂小白 時間: 2014-10-19 14:20

Pascal 發(fā)表于 2014-10-19 12:36
+ D F' {3 |8 _1 N. ?加德納的《無限過程——數(shù)學的分析的背景》P74~75, P143

受教了,，原來前人已經(jīng)有了相關(guān)的研究,，多謝大俠賜教！

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