% K. v, |5 u( Q5 `數(shù)學(xué)家對(duì)螺線的探索最早可以追溯到古希臘時(shí)代,，阿基米德就在他的著作《論螺線》中對(duì)等速螺線的性質(zhì)做了詳細(xì)的討論,，于是后世的數(shù)學(xué)家們也把等速螺線稱(chēng)為“阿基米德螺線”,。（最早發(fā)現(xiàn)等角螺線的其實(shí)是阿基米德的老師柯農(nóng),，在他死后阿基米德繼承了他的工作。）
什么是阿基米德螺線呢,？想象有一根可以繞著一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)桿,，有一只小蟲(chóng)沿著桿勻速向外爬去。當(dāng)長(zhǎng)桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候小蟲(chóng)畫(huà)出的軌跡就是阿基米德螺線,。阿基米德螺線的方程寫(xiě)成極坐標(biāo)形式就是 ρ = aθ。
阿基米德螺線生活中隨處可見(jiàn),。在早期的留聲機(jī)中,，電機(jī)帶動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)上的唱片勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，沿著一條直線軌道勻速向外圈移動(dòng)的唱頭在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺線,。同理,，由勻速盤(pán)香機(jī)生產(chǎn)出來(lái)的盤(pán)狀蚊香也是阿基米德螺線的形狀。等螺距的螺釘從釘頭方向看去也是阿基米德螺線,。就連縫紉機(jī)中也有阿基米德螺線出沒(méi),，一般的機(jī)械縫紉機(jī)中有一個(gè)凸輪，手輪旋轉(zhuǎn)的時(shí)候用來(lái)帶動(dòng)縫紉針頭直線運(yùn)動(dòng),，這個(gè)凸輪的輪廓就是把阿基米德螺線的一部分經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)得到的,。
一個(gè)很有趣的事情是，在阿基米德螺線的配合下,，尺規(guī)就能完成三等分一個(gè)任意角θ,。步驟如下：
1、將θ角的一邊與極軸重合,，頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合2,、延長(zhǎng)角的另一邊與阿基米德螺線交于A3、尺規(guī)三等分OA得到三等分點(diǎn)B’,、C’4,、分別以O(shè)B’,、OC’為半徑，O為圓心畫(huà)圓交螺線于B,、C5,、根據(jù) ρ=aθ 容易證得OB、OC三等分θ
當(dāng)然,，只利用尺規(guī)是無(wú)法畫(huà)出阿基米德螺線的,，所以我們大可不必?fù)?dān)心關(guān)于尺規(guī)三等分任意角不可能的證明就此被推倒。
另一種有名的螺線叫做漸開(kāi)線,。當(dāng)一根繩沿著另一曲線繞上或脫下時(shí),，它描出一條漸伸線。許多曲線都有自己的漸開(kāi)線,，把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)定圓上,，拉開(kāi)繩子的一端并拉直，使繩子與圓周始終相切,，繩子端點(diǎn)的軌跡就是圓的漸開(kāi)線,。
與阿基米德螺線相比，漸開(kāi)線在日常生活中出場(chǎng)的機(jī)會(huì)似乎要少一點(diǎn),，但仔細(xì)尋找還是能發(fā)現(xiàn)它的蹤跡,，例如棕櫚等一些植物葉尖的輪廓就是漸開(kāi)線。其實(shí)它還在機(jī)械設(shè)備中發(fā)揮著重要的作用,，機(jī)械設(shè)備用于傳動(dòng)的齒輪中,，就活躍著漸開(kāi)線的身影。早在 1694 年,，法國(guó)學(xué)者就討論了把漸開(kāi)線作為齒輪齒形的可能性,。 1765 年，歐拉對(duì)相嚙合的一對(duì)齒輪齒形曲線的曲率半徑和曲率中心位置的關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算,，認(rèn)為漸開(kāi)線相當(dāng)適合作為齒輪的齒形,。與其他齒形相比，漸開(kāi)線齒形具有傳動(dòng)平穩(wěn),、兩輪中心距允許有一定的安裝誤差等等優(yōu)點(diǎn),。目前工業(yè)中漸開(kāi)線齒輪被廣泛應(yīng)用，占到世界齒輪市場(chǎng)的 90% 以上,。
漸開(kāi)線齒輪
下面出場(chǎng)的是螺線家族中名氣最大的——等角螺線,。它的名字來(lái)源于一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題：試找出一條曲線，在任意點(diǎn)處的矢徑與切線的夾角為定值,。這一問(wèn)題最終于 1683 年被笛卡爾解決,。使用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的微積分和笛卡爾的坐標(biāo)系，我們很容易就能知道等角曲線的極坐標(biāo)方程：ρ = e aθ ,。由于在方程中出現(xiàn)了指數(shù)函數(shù),，這一螺線也被稱(chēng)為對(duì)數(shù)螺線,。
等角螺線還與一道著名的趣味物理題有關(guān)：三只小狗分別從一個(gè)等邊三角形的三點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度相互追逐,，當(dāng)它們?cè)谌切沃行南嘤鰰r(shí),，所畫(huà)出的軌跡就是等角螺線。一個(gè)很少被注意的有趣現(xiàn)象是,，他們將在有限時(shí)間內(nèi)相遇,，但是相遇之前已經(jīng)圍著中心繞了無(wú)數(shù)圈!
等角螺線
等角螺線具有許多有趣的數(shù)學(xué)性質(zhì)，著名數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利就是等角螺線的一個(gè)狂熱粉絲,。他對(duì)等角螺線進(jìn)行了許多研究,，發(fā)現(xiàn)等角曲線在反演、求漸屈線,、求垂足曲線,、等比例放大等等變換后仍然是原先的等角曲線。對(duì)于這些性質(zhì)伯努利感到十分驚訝,，決定把等角曲線作為自己的墓志銘,，還加上了一句話“Eadem mutata resurgo.”這句話有各種不同的翻譯版本，大意是“縱然改變,，仍然故我”（也有一些版本的翻譯類(lèi)似“改變之后,，我將原地復(fù)活”）。但是滑稽的是為他雕刻墓碑的工匠也許是文化水平不高,，也許就是嫌麻煩,，最后給墓碑上雕刻的圖竟是毫不相關(guān)的阿基米德螺線。伯努利若九泉有知,，怕是要死不瞑目了。
等角對(duì)數(shù)螺線的除了伯努利還有大自然,�,？赡苁怯捎谒冉堑奶匦裕冉锹菥�是自然界中最常見(jiàn)的螺線,。向日葵的和其他一些植物的種子在花盤(pán)上排列出的曲線就是等角曲線,，這樣每顆種子受到周?chē)渌N子所分泌生長(zhǎng)素的抑制作用可以達(dá)到最小，同時(shí)當(dāng)它們長(zhǎng)大時(shí)可以保持形狀不變,。蕨類(lèi)植物和其他一些植物的嫩葉也蜷曲成對(duì)數(shù)曲線的形狀,。
向日葵的花盤(pán)，能看出等角螺線嗎
對(duì)數(shù)曲線形狀的嫩芽
除了植物界,，動(dòng)物界也有不少等角螺線,。鸚鵡螺的螺殼曲線就是等角螺線，這是由于鸚鵡螺在生長(zhǎng)時(shí)內(nèi)圈與外圈分泌石灰質(zhì)的量總為一定值造成的,，同理鷹嘴和鯊魚(yú)的背鰭也是對(duì)數(shù)螺線的形狀,。法國(guó)博物學(xué)家,，《昆蟲(chóng)記》作者 讓-亨利•法布爾曾經(jīng)注意到，蜘蛛結(jié)出的網(wǎng)上也有對(duì)數(shù)螺線出沒(méi),，對(duì)此他興趣大發(fā),，在《蜘蛛的一生》中增加了專(zhuān)門(mén)的一篇，討論對(duì)數(shù)螺線的數(shù)學(xué)性質(zhì)和它對(duì)自然界的影響,。甚至“對(duì)數(shù)螺線”這個(gè)名字就是法布爾叫響的,。另外人們發(fā)現(xiàn)，飛蛾撲火與老鷹盤(pán)旋也都是沿著對(duì)數(shù)螺線的軌跡移動(dòng),。
但是和接下來(lái)的銀河系相比,，以上的例子都“弱爆了”。天文學(xué)家觀測(cè)發(fā)現(xiàn),，渦旋狀星云的旋臂形狀與等角螺線十分相似,，銀河系的四大旋臂就是傾斜度為 12° 的等角螺線。
除此之外,，數(shù)學(xué)家們還找出了各種奇形怪狀的非主流螺線,，例如極坐標(biāo)方程 r 2 = θ 描述的連鎖螺線，它不是常見(jiàn)的一支,，而是對(duì)稱(chēng)的兩支,。更為怪異的是歐拉螺線，它有兩個(gè)中心,，埃舍爾的一副作品就是以此為主題的,。
歐拉曲線
數(shù)學(xué)界是如此地?zé)釔?ài)螺線，以至于衡量一個(gè)數(shù)學(xué)家是否足夠牛逼的簡(jiǎn)單的方法就是看看是否存在以他命名的螺線,。那死理性派又為什么對(duì)螺線情有獨(dú)鐘呢,？這就正像法布爾總結(jié)的那樣：“幾何，以及面積的和諧支配著一切,�,！甭菥�背后精準(zhǔn)優(yōu)雅的規(guī)律，無(wú)疑讓一代又一代的人為之癡迷,。
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