4. 將記錄的數(shù)值輸入系統(tǒng)之內(nèi)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)生成X軸Z向的直線度誤差（圖2）
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圖1 X軸Z向直線度檢測(cè)示意圖
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5 i+ V o6 @5 i: v1 I: U9 l! A4 m圖2 檢驗(yàn)結(jié)果樣例
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問(wèn)題的提出：
* W; x8 W& I1 l B: }' w, f+ q公司規(guī)定的該處直線度誤差應(yīng)為11μm之內(nèi),，據(jù)車間及工藝反映：,，自從該機(jī)型量產(chǎn)后的幾十臺(tái)檢驗(yàn)結(jié)果，該處直線度誤差一直在超差邊緣,，機(jī)械調(diào)整非常困難,，公司內(nèi)部不允許在工廠階段進(jìn)行軟件優(yōu)化補(bǔ)償，因?yàn)楝F(xiàn)在我主管該產(chǎn)品了,，恰好之前按照總部的要求將導(dǎo)軌及絲杠都做了優(yōu)化改進(jìn),，鑄件也都做了更改，超差的兩臺(tái)機(jī)器正好是前兩臺(tái)樣機(jī),，于是質(zhì)量部門召開(kāi)了一次會(huì)議,，要求從機(jī)械上想辦法對(duì)該問(wèn)題做出一些分析，并提出改進(jìn)的辦法,。
- x5 x# E- H, m: G1 @7 M) @0 b; ?' W解決問(wèn)題的思路： & g# X' A; e6 C! E# {9 f
聯(lián)想到該機(jī)床的基本結(jié)構(gòu),，立柱中間為了放置轉(zhuǎn)臺(tái)開(kāi)了一個(gè)很大的口子，這必然影響到整個(gè)機(jī)床在此處的剛性,，反映到上面提到的x軸z方向直線度便是兩側(cè)高而中間低的情況,，這在軟件上也非常清楚的顯示了出來(lái)（圖3），解決的辦法就是在立柱的導(dǎo)軌上加工出一個(gè)中凸的曲線來(lái)抵消重力對(duì)直線度的影響,。- r8 o$ s: e9 l! P& p: c* T, B5 b! e' h
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- W7 `: c9 ?1 |) a% y, M/ V圖3 直線度誤差曲線圖
@3 v+ v; Z( [- x" c
問(wèn)題的一般化：
4 w# [! Z3 q4 f9 s9 W. \( D我的雄心絕不僅僅是隨便給出一個(gè)結(jié)果這么簡(jiǎn)單,，我想把這個(gè)問(wèn)題更加一般化:
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1.如何根據(jù)輸入的幾個(gè)點(diǎn)求整條軸的直線度?
( N p2 G% q3 f
2.如果該直線度的走向有規(guī)律可循，如何找到該規(guī)律,？換言之,，該直線度的走向能否被一條曲線擬合，如果能,，那曲線的方程應(yīng)該是什么,？
+ @! b$ ~4 [! B
3.如果我手上有幾十臺(tái)該直線度的檢測(cè)數(shù)據(jù)，我如何來(lái)求得最適合的一條擬合曲線,？
2 E; M/ w$ e* |' B0 L! W
4.如何求得3中提出來(lái)的擬合曲線的補(bǔ)償曲線,？
b1 n) e. `# p2 q5.補(bǔ)償曲線求好后，如何反推其正確性（通過(guò)已有的機(jī)床直線度數(shù)據(jù)反求）
, T7 E# t9 I1 i# ]) x$ n/ v具體的解決思路：! L& C o: W5 a& C( Q
為了便于理解,，我對(duì)機(jī)床軸和坐標(biāo)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系做一個(gè)描述：令機(jī)床軸X軸的中點(diǎn)作為坐標(biāo)的原點(diǎn),，坐標(biāo)軸X軸的正向?yàn)闄C(jī)床軸X軸行程的正向，這樣,，這個(gè)問(wèn)題中700mm的行程可以在坐標(biāo)軸上對(duì)應(yīng)為為X軸的-350,，-320，…,，0,，…,，320，350,，單位為毫米,，坐標(biāo)軸Y軸和機(jī)床Z軸重合，方向一直,，單位為微米,。
& A8 i; I5 n3 U. R0 o1.如何根據(jù)輸入的幾個(gè)點(diǎn)求整條軸的直線度?
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這個(gè)問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，只要在坐標(biāo)軸上畫出每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X軸Z方向的直線度測(cè)量數(shù)據(jù),，然后通過(guò)最小二乘法擬合出一條直線,，每個(gè)點(diǎn)與該直線的豎直距離（注意是Z方向差值的絕對(duì)值，而不是點(diǎn)到直線的垂直距離,，這個(gè)具體可以參考最小二乘法的定義及求法）的差值即為該點(diǎn)的偏差值,，這個(gè)行程上點(diǎn)與點(diǎn)之間偏差值的差的最大值就是X軸在Z方向的直線度。下面就以圖2的檢測(cè)數(shù)據(jù)為例編程求出該機(jī)床的X軸Z方向直線度（圖4）,。
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圖4 X軸Z方向的直線度求法模擬
7 d$ w/ u) N% g M8 k t由圖中可以看出,，用該方法求出的偏差值及直線度誤差與系統(tǒng)給出的完全一致，這里給出的精度甚至更高,。（具體的編程代碼我就不給出了,，熟悉編程的朋友可以自己去編個(gè)看看）
2.如果該直線度的走向有規(guī)律可循，如何找到該規(guī)律,？換言之，該直線度的走向能否被一條曲線擬合,，如果能,，那曲線的方程應(yīng)該是什么？
8 s0 z' y! x' K5 p/ H上面既然求出了每個(gè)點(diǎn)的實(shí)際偏差值,，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了：把實(shí)際偏差值輸入到坐標(biāo)軸中,，用合適的曲線模擬出偏差的趨勢(shì)或走向，用的當(dāng)然還是最小二乘法,。至于擬合曲線的選取,，我這里選擇了二次曲線，當(dāng)然讀者也可以選更高次的曲線模擬,。（圖5）
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圖5 用二次曲線擬合直線度偏差點(diǎn)
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% w, C M7 X* d6 b2 U從圖中可見(jiàn),，模擬的效果還是不錯(cuò)的，點(diǎn)的位置基本上符合了二次曲線的規(guī)律,。
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: Z" j0 }7 n0 f; D3.如果我手上有幾十臺(tái)該直線度的檢測(cè)數(shù)據(jù),，我如何來(lái)求得最適合的一條擬合曲線？
$ ?/ y. }- d6 C從問(wèn)題2中我們可以求得每臺(tái)機(jī)床的直線度情況,，但是供應(yīng)商加工鑄件的精度在一定范圍內(nèi)是隨機(jī)的,，這就需要我們從大數(shù)據(jù)中求得最適合的一條曲線,，通過(guò)該條曲線的加工補(bǔ)償，可以使得每臺(tái)機(jī)床直線度都不至于偏離太遠(yuǎn),。這個(gè)最適合應(yīng)該怎么定義呢,？我還是使用最小二乘法的原理，在軸的每個(gè)特定位置求出剛剛擬合出的幾十條曲線的直線度偏差值,，然后找到該位置上的一個(gè)偏差值使得該值到其他機(jī)床在該位置偏差的距離的平方和最小,，如此再做最小二乘擬合，所得的二次曲線便是幾十臺(tái)機(jī)床直線度誤差的平均值了,。（圖6）% {8 I0 J" E% |* c
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圖6 多臺(tái)機(jī)床直線度數(shù)據(jù)擬合
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本次我一共擬合了10臺(tái)的數(shù)據(jù),，得到了上述的表達(dá)式和函數(shù)圖像
5 X6 m5 T4 X4 a$ |! n8 f: O W4.如何求得3中提出來(lái)的擬合曲線的補(bǔ)償曲線？
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上面的曲線方程出來(lái)以后,，這一步也就可以順利解答了,，只要把上面的方程按X軸對(duì)稱即可得到補(bǔ)償函數(shù)，當(dāng)然這個(gè)函數(shù)還不是我們要的,，為了方便加工,，給出的函數(shù)需要假設(shè)兩頭為0，中間高,，從而讓加工廠不必費(fèi)力再去計(jì)算各點(diǎn)的差值,，直接從函數(shù)中就可以計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)的補(bǔ)償值。（圖7）當(dāng)然考慮的實(shí)際的精度,，中間一項(xiàng)可以刪除,。從而得到更加簡(jiǎn)潔的函數(shù)表達(dá)式。
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圖7 最終得到的可用于加工的補(bǔ)償函數(shù)及圖像
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5.補(bǔ)償曲線求好后,，如何反推其正確性（通過(guò)已有的機(jī)床直線度數(shù)據(jù)反求）
把上面求出的補(bǔ)償曲線與每臺(tái)機(jī)床的直線度誤差曲線合并后,，再使用步驟1的方法可以得到補(bǔ)償后的結(jié)果。（圖8）
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圖8 補(bǔ)償前后直線度誤差對(duì)比
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由上圖可以看出,，補(bǔ)償后的直線度誤差沒(méi)有超過(guò)6微米的,，除了第5臺(tái)機(jī)床，其他的都要明顯好于補(bǔ)償前的結(jié)果,。
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結(jié)論：
- C- C: H% b2 E' e, Y; W0 w通過(guò)機(jī)械的補(bǔ)償可以達(dá)到預(yù)期的效果,，但是值得注意的是，補(bǔ)償后的誤差仍然可以通過(guò)系統(tǒng)插值法來(lái)進(jìn)一步補(bǔ)償,。而軟件補(bǔ)償是針對(duì)單臺(tái)機(jī)床來(lái)說(shuō)的,，從下圖可以看到，如果需要,，二次補(bǔ)償后直線度在1微米之內(nèi)甚至更高精度要求內(nèi)完全沒(méi)有問(wèn)題,。
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圖9 補(bǔ)償后的偏差仍然可以通過(guò)二次曲線在軟件中補(bǔ)償
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