我研究數(shù)學(xué)一點(diǎn)心得：一種從代數(shù)式到微分式的快速變換法

逍遙處士

我研究數(shù)學(xué)分析（微積分）以來,，有那么一點(diǎn)心得，一直想寫出來,，幫助初學(xué)者，以跨過那些難懂的書籍，以掌握微積分,，以產(chǎn)生生產(chǎn)力。

  v. J  r: i# \! i, J7 i4 b& _讓我們把概念拋棄,，先把玩法弄會(huì),，把玩法弄熟，最后再學(xué)習(xí)基本理論,。
, u  ]1 T# ]3 E5 x1 o) K. ?5 \* c本方法能從代數(shù)式一步過渡到微分式,，只需要簡(jiǎn)單的替換、四則運(yùn)算,、省略等操作,。
' n; u, ~) r7 a0 ^
7 r- S) q3 O& b8 [8 S先從最簡(jiǎn)單的一元一次方程式開始,。
y = 2x                      （1）
* B$ y: i8 r" H9 v我們將 y 替換成 y+dy ， 將 x 替換成 x+dx,，于是上式變換成：
(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
  Y9 \& F8 J: c' d（2）-（1）得：
dy = 2dx                  （3）
上面這個(gè)（3）式就是（1）式的微分式,。快吧,？將dx從右邊挪到左邊就變成：
  v, ?6 K" f. Q5 b" d, Hdy/dx =  2 = y'           （4）
上面的（4）式就是（1）式的導(dǎo)數(shù)式,，導(dǎo)數(shù)就是這么求來的。

( v0 d/ q0 z( V$ u: _) K下面再來看一元二次方程：
3 S/ Y- ~, t$ @5 ey=x^2                      （5）
$ a2 h' s) O; \做替換,，y→y+dy,，x→x+dx，得：
(y+dy) = (x+dx)^2     
, S, Z1 ^7 j, H/ r" ^展開得：
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
dy = 2x*dx + dx^2     （7）
- u- W5 `' S) A9 ~' w3 y這里介紹一個(gè)關(guān)鍵,，微積分的精髓——dx屬于一階“無窮小”,，而dx^2屬于二階“無窮小”，二者相加,，高階者略去,，所以：
6 w% \: n9 P+ {- Bdy = 2x*dx                （8）
dy/dx = 2x = y'          （9）
5 u, i' {7 d5 F- _2 I( N上面的第（9）式就是（5）式的導(dǎo)數(shù)式。
' T6 ?5 L* |2 W" j: k# s' Q9 F
( h" A( o6 [5 N: C2 b. `下面看二元一次方程：
$ o. ~; F  Y2 U9 n- L+ Yz = xy                      （10）
做替換z→z+dz,，y→y+dy,，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展開得：
, D6 ~' Q8 F0 Q# q2 Z% hz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
" R% U* V% u# h. `9 b0 [（12）-（10）得：
; [; Y; U. D1 ?+ q% C- Mdz = xdy + ydx + dxdy（13）
. d! a3 r4 V2 X9 p看上式，又出現(xiàn)了高階“無窮小”,，可以略去,，所以：
' [+ J2 ^+ b+ U. l" T- ]dz = xdy + ydx          （14）
上式即為（10）式的微分式。

最后再舉一個(gè)例子,，關(guān)于流體的連續(xù)性有一個(gè)式子：
ρvA = C（常數(shù)）
書上說先兩邊取對(duì)數(shù),，然后再兩邊微分，得：
dρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
# i  K) M- K! e5 B( J3 }用我的方法,，不用無中生有去微分,，一樣得出這個(gè)式子，先做替換得：
/ F& E3 g& f5 F( I% S5 g8 F& M(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
3 U9 ?8 z( G  h7 T2 W展開得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
$ z. W' h8 b8 l& i- i3 c+ [+ t減去第一個(gè)式子,，再略去二階及三階無窮小,，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
兩邊同除以ρvA，就跟上面一樣了,。

. \4 h& w& j" R5 K; F- G: L6 }總結(jié)一下,，第一步替換，第二步相減,，第三步“略去高階無窮小”,，成功！
任何方程式都可以這么干,，不涉及極限和無窮等概念,，輕松學(xué)會(huì)微分變換,。

風(fēng)隨意

初中畢業(yè)表示很難看懂~

逍遙處士

題目又被改了……聲明一下，冒號(hào)前面的字是管理員加的,。
鄙人可不敢說研究數(shù)學(xué),，會(huì)讓教授們笑話的。
再次聲明,，冒號(hào)前面的字是管理員加的,。

水水5

最近感覺到處都要用到數(shù)學(xué)呢
往高一點(diǎn)研究都是要用數(shù)學(xué)的   也在看微積分 復(fù)習(xí)一下

mfka

很有意思！
& H9 c: M9 M  B( L9 x" W  A% J; G謝謝把你研究結(jié)果與大家共享,！
3 Z  S, w, O4 G9 O+ J$ [1 L3 ^% m& H我提點(diǎn)我的看法,，請(qǐng)不要介意！
: R/ \8 V1 u& D2 m- d  m* |1 d3 L4 R你用的是數(shù)學(xué)研究的枚舉法,，如果要普通適用就要證明的方法過程,，你所謂的無窮小項(xiàng)不一定是真正的無窮小。

zhulongxin1986

不去教數(shù)學(xué)真是浪費(fèi)啊。

逍遙處士

mfka 發(fā)表于 2013-5-22 22:59
; O, A+ h& A! ], x很有意思,！
謝謝把你研究結(jié)果與大家共享,！
我提點(diǎn)我的看法，請(qǐng)不要介意,！

1 f  B+ {; L9 w9 Y0 Z8 W鄙人這是綜合了標(biāo)準(zhǔn)分析,、非標(biāo)準(zhǔn)分析以及我國(guó)陰陽學(xué)說才研究出的結(jié)果。
完全符合洋人的標(biāo)準(zhǔn),，所以不存在你說的那些問題,。

補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:28):
6 p) ^$ G* E3 K6 p1 Q這個(gè)真不是吹牛，其實(shí)我原本的想法,，并不是這樣,。我原本的想法寫出來，如果用陰陽學(xué)說來看,，是很容易理解的,，但現(xiàn)代人怎能接受？我只能寫成這樣,，但這樣更難理解,。但是——無論你怎么說，這種方法的結(jié)果卻是對(duì)的,。
% p$ L9 l! P3 L# W" N
補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:30):
. x5 e' ^; R0 E- s我們不妨想一想,，這種簡(jiǎn)單直接的方法，無論在什么情況下,，它的結(jié)果都是對(duì)的,，但它的解釋學(xué)起來卻無比艱難——大家想一想，問題出在哪里,？就是出在對(duì)這種方法的解釋上面,！

補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:33):
所以不管什么無窮小、極限,、趨近于0等等等等,，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法,，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性,，那么,，這種學(xué)問學(xué)起來是不是就會(huì)容易很多？
/ H3 ^  g/ F; i* Z. r* ]
補(bǔ)充內(nèi)容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么無窮小,、極限,、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已,。如果有一種方法,，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么,，這種學(xué)問學(xué)起來是不是就會(huì)容易很多,？

請(qǐng)叫我小凱

滿新穎的

大本Ben

嘻嘻,。以后遇到這些就簡(jiǎn)單多了,。

wwfs

這其實(shí)就是導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程,，用極限的方法，數(shù)學(xué)分析教材至少我學(xué)的版本就是這么處理的,，這么看來不清楚極限的可以用樓主的方法,，知道的可能就覺得在繞圈子了，小小評(píng)論樓主莫在意啊