我研究數(shù)學(xué)一點心得：一種從代數(shù)式到微分式的快速變換法

逍遙處士

我研究數(shù)學(xué)分析（微積分）以來，有那么一點心得,，一直想寫出來,，幫助初學(xué)者,，以跨過那些難懂的書籍,，以掌握微積分，以產(chǎn)生生產(chǎn)力,。

4 H+ g- b$ v4 C9 V0 I( Z讓我們把概念拋棄,，先把玩法弄會,，把玩法弄熟，最后再學(xué)習(xí)基本理論,。
本方法能從代數(shù)式一步過渡到微分式,，只需要簡單的替換、四則運算,、省略等操作。
$ h  k# X/ D/ j" j# U0 f+ h$ `
先從最簡單的一元一次方程式開始,。
y = 2x                      （1）
' g6 V; i% [& E3 w  C1 m" s8 r我們將 y 替換成 y+dy ,， 將 x 替換成 x+dx，于是上式變換成：
(y+dy) = 2(x+dx)      （2）
6 Z% A5 v5 ^1 f; K（2）-（1）得：
* h0 L, j! t, N8 I0 |: F+ jdy = 2dx                  （3）
上面這個（3）式就是（1）式的微分式,�,？彀桑繉�dx從右邊挪到左邊就變成：
dy/dx =  2 = y'           （4）
上面的（4）式就是（1）式的導(dǎo)數(shù)式,，導(dǎo)數(shù)就是這么求來的,。
' I3 m; M# w9 i" C9 B1 l9 ]
下面再來看一元二次方程：
2 S2 O6 [$ R6 cy=x^2                      （5）
* F5 x# J& X, W# [$ @做替換，y→y+dy,，x→x+dx,，得：
! [6 H/ e6 t" J9 ?! ~" \9 A(y+dy) = (x+dx)^2     
5 |* @# I: @# A" B, t) Z展開得：
5 H- `5 Z4 j, b  `(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  （6）
（6）-（5）得：
  R2 f' a% c: p4 w( D# i% xdy = 2x*dx + dx^2     （7）
這里介紹一個關(guān)鍵，微積分的精髓——dx屬于一階“無窮小”,，而dx^2屬于二階“無窮小”,，二者相加，高階者略去,，所以：
dy = 2x*dx                （8）
dy/dx = 2x = y'          （9）
3 v7 B' t6 h: p& D0 |上面的第（9）式就是（5）式的導(dǎo)數(shù)式,。

* U* A% D4 m% C: W$ C下面看二元一次方程：
/ O9 @/ s% Z' Q5 Sz = xy                      （10）
8 s5 L! i! H: E做替換z→z+dz，y→y+dy,，x→x+dx得：
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)（11）
展開得：
5 C1 j, N' W  k7 K+ w  p4 w5 az+dz = xy + ydx + xdy + dxdy （12）
1 x% u- q) R, K% F9 t6 F（12）-（10）得：
5 E$ |' ]9 A: e, ddz = xdy + ydx + dxdy（13）
; n5 u0 p' |7 e看上式,，又出現(xiàn)了高階“無窮小”，可以略去,，所以：
# j6 g, Q+ N- P' t8 Zdz = xdy + ydx          （14）
上式即為（10）式的微分式,。
( N! M/ t* M+ {' X# k
3 c3 K: R+ V9 w9 z最后再舉一個例子，關(guān)于流體的連續(xù)性有一個式子：
/ k8 `  \6 I+ p2 o4 `# XρvA = C（常數(shù)）
" W" c& H; [5 r8 k3 {書上說先兩邊取對數(shù),，然后再兩邊微分,，得：
8 y" s3 \& g' }3 Ndρ/ρ + dv/v + dA/A = 0
; F+ w: K1 I' t! L' ]% i1 b# \# d用我的方法，不用無中生有去微分,，一樣得出這個式子,，先做替換得：
4 p) Q9 v" w/ `; n" V. B( p(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
展開得：
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
, `* b& x4 i. b減去第一個式子，再略去二階及三階無窮小,，得：
ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
7 L# ]* V8 P( Q; V* v兩邊同除以ρvA,，就跟上面一樣了,。

總結(jié)一下，第一步替換,，第二步相減,，第三步“略去高階無窮小”，成功,！
任何方程式都可以這么干,，不涉及極限和無窮等概念，輕松學(xué)會微分變換,。

風(fēng)隨意

初中畢業(yè)表示很難看懂~

逍遙處士

題目又被改了……聲明一下,，冒號前面的字是管理員加的,。
3 z6 Q. S3 Y1 c5 E* S% ^鄙人可不敢說研究數(shù)學(xué)，會讓教授們笑話的,。
( c6 E# c; p6 t) n9 R) H4 q! e/ S再次聲明,，冒號前面的字是管理員加的。

水水5

最近感覺到處都要用到數(shù)學(xué)呢
往高一點研究都是要用數(shù)學(xué)的   也在看微積分 復(fù)習(xí)一下

mfka

很有意思,！
+ T$ ^3 @* N+ P  `) C( J謝謝把你研究結(jié)果與大家共享,！
我提點我的看法,，請不要介意！
你用的是數(shù)學(xué)研究的枚舉法,，如果要普通適用就要證明的方法過程,，你所謂的無窮小項不一定是真正的無窮小。

zhulongxin1986

不去教數(shù)學(xué)真是浪費啊,。

逍遙處士

mfka 發(fā)表于 2013-5-22 22:59
3 ^( R& `4 ^9 l( y很有意思！
謝謝把你研究結(jié)果與大家共享,！
我提點我的看法,，請不要介意！

: u; R5 k0 L+ [- y% ~4 X( F3 z5 X鄙人這是綜合了標(biāo)準(zhǔn)分析,、非標(biāo)準(zhǔn)分析以及我國陰陽學(xué)說才研究出的結(jié)果,。
6 a1 @) C- P. c, r1 S完全符合洋人的標(biāo)準(zhǔn)，所以不存在你說的那些問題,。
: [8 D+ k5 u1 q0 T
. U! d8 m! J$ @' Y2 s% l& ^% |補充內(nèi)容 (2013-5-25 22:28):
這個真不是吹牛,，其實我原本的想法，并不是這樣,。我原本的想法寫出來,，如果用陰陽學(xué)說來看，是很容易理解的,，但現(xiàn)代人怎能接受,？我只能寫成這樣，但這樣更難理解,。但是——無論你怎么說,，這種方法的結(jié)果卻是對的。

補充內(nèi)容 (2013-5-25 22:30):
我們不妨想一想,，這種簡單直接的方法,，無論在什么情況下，它的結(jié)果都是對的,，但它的解釋學(xué)起來卻無比艱難——大家想一想,，問題出在哪里,？就是出在對這種方法的解釋上面！
, k" X% D1 T, I
補充內(nèi)容 (2013-5-25 22:33):
; R; b3 x' r2 y: v6 E所以不管什么無窮小,、極限,、趨近于0等等等等，這些概念都不過是為了說服我們自己而已,。如果有一種方法,，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性，那么,，這種學(xué)問學(xué)起來是不是就會容易很多,？

  s; @) I0 x1 W3 O) V* m補充內(nèi)容 (2013-5-25 22:34):
所以不管什么無窮小、極限,、趨近于0等等等等,，這些概念都不過是為了說服我們自己而已。如果有一種方法,，能讓我們很容易就相信這種做法的正確性,，那么，這種學(xué)問學(xué)起來是不是就會容易很多,？

請叫我小凱

滿新穎的

大本Ben

嘻嘻,。以后遇到這些就簡單多了。

wwfs

這其實就是導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程，用極限的方法,，數(shù)學(xué)分析教材至少我學(xué)的版本就是這么處理的,，這么看來不清楚極限的可以用樓主的方法，知道的可能就覺得在繞圈子了，小小評論樓主莫在意啊