千萬別研究數(shù)學(xué)，毀三觀之巴拿赫-塔斯基分球定理

crazypeanut

    巴拿赫-塔斯基定理（或稱豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理,，又名“分球怪論”）,，是一條數(shù)學(xué)定理,。1924年斯特凡·巴拿赫和阿爾弗雷德·塔斯基首次提出這一定理,。這一定理指出在選擇公理成立的情況下,，可以將一個(gè)三維實(shí)心球分成有限（不可測的）部分，然后僅僅通過旋轉(zhuǎn)和平移到其他地方重新組合,，就可以組成兩個(gè)半徑和原來相同的完整的球,。巴拿赫和塔斯基提出這一定理原意是想拒絕選擇公理，但該證明很自然,，因此數(shù)學(xué)家認(rèn)為這僅意味著選擇公理可以導(dǎo)致少數(shù)令人驚訝和反直覺的結(jié)果,。有些敘述中這條定理被看成是悖論，但是定理本身沒有邏輯上不一致的地方,，實(shí)際上不符合悖論的定義,。
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" Y1 I* Q6 `' t) q定理內(nèi)容如下：

9 d4 |% r0 `" ]& q設(shè)A和B是歐幾里得空間的兩個(gè)子集。如果它們可以分為有限個(gè)不相交子集的并集,，形如和,，且對(duì)任意i，子集全等于,，那么這兩個(gè)子集稱為等度分解的(equidecomposable)。于是,，這個(gè)悖論可以如下敘述：

1 o; T/ R6 {9 {$ z一個(gè)球和他自身的2個(gè)拷貝是等度分解的

對(duì)球來說,，五塊就足夠做到這點(diǎn)了，但少于五塊卻不行,。這個(gè)悖論甚至有個(gè)更強(qiáng)的版本：

9 G4 `% {$ F" y  J+ y" H任意兩個(gè)三維歐幾里德空間具有非空內(nèi)部的子集是等度分解的
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換句話說,，一塊大理石可以分成有限塊然后重新組合成一個(gè)行星，或者一部電話機(jī)可以變形之后藏進(jìn)水百合花里面,。在現(xiàn)實(shí)生活中這種變形之所以不可行是因?yàn)?font style="color:rgb(11, 0, 128)">原子的體積不是無限小,，數(shù)量不是無限大，但其幾何形狀確實(shí)可以這樣變形的,。如果知道總是可以存在從一個(gè)幾何體的內(nèi)部點(diǎn)一一映射到另一個(gè)的方法,，也許這個(gè)悖論看上去就不那么怪異了,。例如兩個(gè)球可以雙射到其自身同樣級(jí)別的無限子集（例如一個(gè)球）。同樣我們還可以使一個(gè)球映射到一個(gè)大點(diǎn)或者小點(diǎn)的球,，只要根據(jù)半徑放大系數(shù)即可將一個(gè)點(diǎn)映射到另一個(gè),。然而，這些變換一般來說不能保積,，或者需要將幾何體分割成不可數(shù)無限塊,。巴拿赫 - 塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進(jìn)行旋轉(zhuǎn)和平移就能完成變換。

使這個(gè)悖論成為可能的是無限的卷繞,。技術(shù)上,，這是不可測的，因此它們不具有“合理的”范圍或者平常說的“體積”,。用小刀等物理方法是無法完成這種分割的,，因?yàn)樗鼈冎荒芊指畛隹蓽y集合。這個(gè)純粹存在性的數(shù)學(xué)定理指出在多數(shù)人熟悉的可測集合之外,，還有更多更多的不可測集合,。

對(duì)于三維以上的情形這個(gè)悖論依然成立。但對(duì)于歐幾里得平面它不成立,。（以上敘述不適用于三維空間的二維子集,，因?yàn)檫@個(gè)子集可能具有空的內(nèi)部。）同時(shí),，也有一些悖論性的分解組合在平面上成立：一個(gè)圓盤可以分割成有限塊并重新拼成一個(gè)面積相同的實(shí)心正方形,。參見塔斯基分割圓問題。

這個(gè)悖論表明如果等度分解的子集被認(rèn)為具有相同體積的話,，就無法對(duì)歐幾里得空間的有界子集定義什么叫做“體積”,。

證明是基于費(fèi)利克斯·豪斯多夫早些時(shí)候的工作。他10年前發(fā)現(xiàn)一個(gè)類似的悖論,，事實(shí)上,，巴拿赫 - 塔斯基悖論正是豪斯多夫所用技術(shù)的一個(gè)推廣應(yīng)用。

邏輯學(xué)家常常對(duì)邏輯上不一致的命題使用“悖論”一詞,，例如說謊者悖論或者羅素悖論,。巴拿赫 - 塔斯基悖論并非這種意義上的悖論，它是一個(gè)已證明的定理,，只因?yàn)檫`反直覺才被稱為悖論,。由于其證明明確地用到選擇公理，這種反常的結(jié)論被用作反對(duì)使用該公理的理據(jù),。

馮紐曼研究這個(gè)悖論時(shí),，創(chuàng)出了可均群的概念。他發(fā)現(xiàn)三維以上情形之所以產(chǎn)生悖論,，和這些空間的旋轉(zhuǎn)群的非可均性有關(guān),。

7 _4 @% I0 y. w: G9 W9 b- |證明概要：

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基本上,，尋找這個(gè)分球的奇怪方法可以分為4個(gè)步驟：

• 找到把一個(gè)具有兩個(gè)生成元的自由群進(jìn)行分割的特殊方法
• 找到一個(gè)3維空間中同態(tài)于這兩個(gè)生成元的旋轉(zhuǎn)群
• 利用這個(gè)群的特殊分割方法和選擇公理對(duì)單位球面進(jìn)行分解
• 把這個(gè)單位球面的分解推廣到實(shí)心球
  

每個(gè)步驟的詳情如下：

第一步，具有兩個(gè)生成元a和b的自由群由所有含有a,、b,、a-1和b-1這些符號(hào)的有限字符串組成，其中沒有a緊挨著a-1或者b緊挨著b-1這種現(xiàn)象,。兩個(gè)這樣的字符串可以連接在一起,，只要將緊挨著的a和a-1抵銷掉（對(duì)b一樣）。例如abab-1a-1連接到abab-1a得到abab-1a-1abab-1a,，并可化簡為abaab-1a,。我們可以驗(yàn)證這些字符串在這個(gè)操作下構(gòu)成一個(gè)群，其單位元是空串,。我們稱這個(gè)群為,。

群可被進(jìn)行如下特殊分割：令S(a)為所有以a開頭的字符串，同理定義S(a-1),、S(b)和S(b-1),。很明顯

并且

，同時(shí),。

（aS(a-1)表示從S(a-1)取出所有字符串,，并在左邊連接上一個(gè)a，之后所得的所有字符串）證明的關(guān)鍵就在這里了,。簡而言之,，現(xiàn)在我們已經(jīng)將這個(gè)群分成了四塊（忽略也沒有問題），然后通過乘上一個(gè)a或者b來“旋轉(zhuǎn)”它們,，其中兩個(gè)“重新組合”成,，另外兩個(gè)重新組合成另一個(gè)。這樣的事情,，放在球體上就是我們想要證明的東西了,。

第二步，為了尋找三維空間旋轉(zhuǎn)群類似于那樣的行為,，我們?nèi)�兩條坐標(biāo)軸并設(shè)A是繞第一條軸旋轉(zhuǎn)arccos(1/3)弧度而B是繞另一條軸旋轉(zhuǎn)arccos(1/3)弧度,。（這一步驟可在二維上完成。）有些瑣碎但不太難的是這兩種旋轉(zhuǎn)的行為正如中a和b兩個(gè)元素的行為一樣,，這里就略去,。由A和B所生成的這個(gè)旋轉(zhuǎn)群命名為H,。當(dāng)然,，我們可以按照第一步所述方法對(duì)H進(jìn)行分割。

第三步,，單位球面S2可被群H中的操作分成一些軌道：兩個(gè)點(diǎn)屬于同一個(gè)軌道當(dāng)且僅當(dāng)H中某個(gè)旋轉(zhuǎn)將第一個(gè)點(diǎn)移到第二個(gè),。我們可以利用選擇公理在每個(gè)軌道中選出來一個(gè)點(diǎn),。將這些點(diǎn)合起來組成集合M。現(xiàn)在S2中(幾乎)所有點(diǎn)都可以通過H中合適的元素相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)移到M中,。因此,，H的分割也就可以應(yīng)用到S2上面去。

第四步,，最后,，將每個(gè)S2的點(diǎn)連到原點(diǎn)，對(duì)S2的分割便可以應(yīng)用到實(shí)心單位球上去,。（球心處會(huì)有些特殊,，但這個(gè)簡要證明中忽略它。）

總結(jié),，這個(gè)簡要證明到此結(jié)束,。H中有些旋轉(zhuǎn)會(huì)剛好對(duì)應(yīng)于剛好一些特殊的軸線，這時(shí)需要加以特殊處理,。但一方面,，這些情況的總數(shù)是可數(shù)的因此沒有影響，另一方面,，即使相關(guān)的這些點(diǎn)也是可以加以修正以符合定理的,。對(duì)球心點(diǎn)這個(gè)特殊點(diǎn)以上同樣適用。

2 M) G% O. a& L7 l% Q# Q特別強(qiáng)調(diào),，并不是說我們就有辦法把一個(gè)球切開重組變成2個(gè)實(shí)心球,，這個(gè)只是在數(shù)學(xué)上被嚴(yán)格證明而已。測度論,，不可測集合,，選擇公理，就是這么個(gè)神器的玩意�,，F(xiàn)實(shí)中我們無法做到,，因?yàn)闊o論你怎么切一個(gè)球，你都無法切出一個(gè)不可測集的小塊,，而這個(gè)分球定理恰恰是將球切成不可測集的小塊,，才能完成這個(gè)明顯違背直覺的過程的。
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pengzhiping

沙發(fā)

獨(dú)自莫憑欄

LZ數(shù)學(xué)專業(yè)的,？

brianshao

看了第一段,，摸了摸自己的智商，果斷放棄

MELO2108

樓主太強(qiáng) 了
根本看不懂哎

andomy

果斷放棄,，完全不懂

stoplonely

這不要太高深啊,，半路出家怎么學(xué)的這么厲害，求指教

九輪蝸牛

感覺腦容量太少了

郝奇吾乃

想死看完一點(diǎn),，樓主要?dú)⑷擞跓o形嗎