日志
應(yīng)力集中與應(yīng)力奇異（轉(zhuǎn)載）
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應(yīng)力集中是在機(jī)械制造、航空航天、造船和建筑等工程應(yīng)用領(lǐng)域中最常見的問題,，指構(gòu)件中應(yīng)力分布不均在局部增高的現(xiàn)象。
開有圓孔或切口的板條受拉時(shí),，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域，應(yīng)力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力就迅速降低而趨于均勻,。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中,。
各種材料對應(yīng)力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下,，可以不考慮應(yīng)力集中的影響,。（塑性材料有屈服階段，當(dāng)局部應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí),，該處材料可繼續(xù)增長,，而應(yīng)力確不增加。如果外力繼續(xù)增加,，增加的力就有截面上尚未達(dá)到屈服極限的材料來承擔(dān),，使截面上其他點(diǎn)的應(yīng)力相繼達(dá)到屈服極限。應(yīng)力不均勻程度大大降低,，也限制了最大應(yīng)力值）
脆性材料沒有屈服階段,，一直領(lǐng)先，首先達(dá)到強(qiáng)度極限,，產(chǎn)生斷裂,。所以要考慮應(yīng)力集中對零件承載能力的削弱。
但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時(shí),，不論塑性材料還是脆性材料,，應(yīng)力集中對零件都會產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。
（以上內(nèi)容來自材料力學(xué)）
繼續(xù):
高人的見解：應(yīng)力集中是指的在某一個(gè)區(qū)域內(nèi)應(yīng)力梯度較大,，如果網(wǎng)格稀疏的話,，就不會捕捉到梯度變化較大的應(yīng)力。有應(yīng)力集中未必會是應(yīng)力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔,，另一端受拉伸集度載荷,，這樣園孔處有兩部分會發(fā)生應(yīng)力集中。但是應(yīng)力并不是無窮,，即不存在應(yīng)力奇異,。但是應(yīng)力奇異的地方一定存在應(yīng)力集中。應(yīng)力奇異是modelling過程造成的,。我們知道實(shí)際問題中,，奇異點(diǎn)處的應(yīng)力不可能是無窮的。
應(yīng)力奇異可以來自與很多因素,，比如荷載,，邊界條件，邊界的光滑性,，材料系數(shù)的光滑性,，等等。奇異點(diǎn)的存在導(dǎo)致有限元解的收斂速度很慢,，尤其對于均勻劃分的網(wǎng)格,。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網(wǎng)格情況下應(yīng)變能的變化,。使用局部細(xì)化或hp方法的原因是因?yàn)檫@兩種方法能使有限元解較快的收斂,。但是注意應(yīng)力奇異點(diǎn)是不能夠消除的。你的模型固定了,，你的奇異點(diǎn)也固定了,，通過計(jì)算是消除不掉的，計(jì)算是一個(gè)用估計(jì)解逼近一個(gè)真實(shí)解（精確解）,，精確解本身帶有奇異點(diǎn),，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應(yīng)力奇異點(diǎn)的做法是錯(cuò)誤的,。如果想消除應(yīng)力奇異點(diǎn),，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元,，在某一節(jié)點(diǎn)處加集中力,，那么此處就是一個(gè)奇異點(diǎn)。要消除它的話,，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上,，奇異點(diǎn)就沒有了。
奇異點(diǎn)的定義就是在某一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)無窮,。舉一個(gè)L形區(qū)域的平面問題,，某一個(gè)邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會發(fā)現(xiàn)無論荷載多么小,，角點(diǎn)處的應(yīng)力都是無窮,。這就是幾何形狀引起的奇異點(diǎn)。
現(xiàn)在問題來了,，一方面我們知道角點(diǎn)處的應(yīng)力無窮,，另一方面我們知道對于很小的荷載，角點(diǎn)處的應(yīng)力不可能是無窮的,。問題出在什么地方呢,？
首先數(shù)學(xué)模型都是建立在一些假設(shè)上的，比如對于一個(gè)二維平面問題,，平衡方程為 div(sigma) =f,。這個(gè)平衡方程是這么定義的呢？它是指在平面內(nèi)（不包括邊界）任取一點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）,。從平衡方程中可以看出，我們是要求位移的二階倒數(shù)是連續(xù)的,，這個(gè)要求有的時(shí)候很強(qiáng),。因?yàn)檎f不定某處的二階倒數(shù)根本不存在。對于L形區(qū)域問題,，我們只知道區(qū)域內(nèi)的位移的二階倒數(shù)是存在的,，連續(xù)的。角點(diǎn)在邊界上,，我們不知道二階導(dǎo)數(shù)的情況。有可能該點(diǎn)處的二階倒數(shù),，或一階倒數(shù)根本不存在,。通過實(shí)際推倒我們可以發(fā)現(xiàn)，角點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)無窮,。
有限元是用來解偏微分方程的工具,。偏微分方程對導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導(dǎo)數(shù)的要求,，比如有限元要求一階導(dǎo)數(shù)平方可積就行,。所以有限元解可能比偏微分方程反映實(shí)際要解決的問題.
Tonnw：這個(gè)問題單元并不奇異，是幾何結(jié)構(gòu)奇異,，在角點(diǎn)有高應(yīng)力,，但不一定無窮大，應(yīng)力值取決于載何大�,。ú煌�,，角點(diǎn)處應(yīng)力無窮，角點(diǎn)附近的應(yīng)力與載荷大小無關(guān)。）
1.應(yīng)力理論趨于無窮大不代表實(shí)際應(yīng)力值無窮大.最大實(shí)際應(yīng)力不會超過材料的屈服應(yīng)力,當(dāng)線性應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時(shí),應(yīng)起動塑性應(yīng)力分析.（假設(shè)載荷無窮小,，但是奇異點(diǎn)處的應(yīng)力還是無窮大,，難道還要啟動塑性應(yīng)力分析。）
3.在單元形態(tài)不奇異下,細(xì)網(wǎng)格的應(yīng)力更精確些,也就是更接近實(shí)際應(yīng)力（應(yīng)該是更接近精確解,，即所要求解的偏微分方程的精確解）.
但細(xì)網(wǎng)格需更多的CPU時(shí)間和內(nèi)存.所以當(dāng)前后兩次網(wǎng)格的結(jié)果變化在可接受的范圍內(nèi)（這個(gè)可接受范圍怎么定,？，兩次結(jié)果變化指的是什么,，某一點(diǎn)數(shù)值的變化,？）
奇異點(diǎn)處，解析解是無窮大,，與modeling等有關(guān)不能消除,。有限元解，會逼近解析解,，趨于無窮,，然而實(shí)際中，真實(shí)的應(yīng)力值是一個(gè)大值,，應(yīng)該與所加載荷有關(guān)具體,，如何得到真實(shí)的應(yīng)力值，不太清楚,，請繼續(xù)探討這個(gè)問題,！
開有圓孔或切口的板條受拉時(shí),，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域，應(yīng)力將急劇增加，但在離開圓孔或切口稍遠(yuǎn)處，應(yīng)力就迅速降低而趨于均勻,。這種因桿件外形突然變化，而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中,。
各種材料對應(yīng)力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下,，可以不考慮應(yīng)力集中的影響,。（塑性材料有屈服階段，當(dāng)局部應(yīng)力達(dá)到屈服極限時(shí),，該處材料可繼續(xù)增長,，而應(yīng)力確不增加。如果外力繼續(xù)增加,，增加的力就有截面上尚未達(dá)到屈服極限的材料來承擔(dān),，使截面上其他點(diǎn)的應(yīng)力相繼達(dá)到屈服極限。應(yīng)力不均勻程度大大降低,，也限制了最大應(yīng)力值）
脆性材料沒有屈服階段,，一直領(lǐng)先，首先達(dá)到強(qiáng)度極限,，產(chǎn)生斷裂,。所以要考慮應(yīng)力集中對零件承載能力的削弱。
但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時(shí),，不論塑性材料還是脆性材料,，應(yīng)力集中對零件都會產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。
（以上內(nèi)容來自材料力學(xué)）
繼續(xù):
高人的見解：應(yīng)力集中是指的在某一個(gè)區(qū)域內(nèi)應(yīng)力梯度較大,，如果網(wǎng)格稀疏的話,，就不會捕捉到梯度變化較大的應(yīng)力。有應(yīng)力集中未必會是應(yīng)力奇異。比如二維平面單元中間開有園孔,，另一端受拉伸集度載荷,，這樣園孔處有兩部分會發(fā)生應(yīng)力集中。但是應(yīng)力并不是無窮,，即不存在應(yīng)力奇異,。但是應(yīng)力奇異的地方一定存在應(yīng)力集中。應(yīng)力奇異是modelling過程造成的,。我們知道實(shí)際問題中,，奇異點(diǎn)處的應(yīng)力不可能是無窮的。
應(yīng)力奇異可以來自與很多因素,，比如荷載,，邊界條件，邊界的光滑性,，材料系數(shù)的光滑性,，等等。奇異點(diǎn)的存在導(dǎo)致有限元解的收斂速度很慢,，尤其對于均勻劃分的網(wǎng)格,。有興趣的可以試一下L形的平面問題，檢查一下均勻劃分網(wǎng)格情況下應(yīng)變能的變化,。使用局部細(xì)化或hp方法的原因是因?yàn)檫@兩種方法能使有限元解較快的收斂,。但是注意應(yīng)力奇異點(diǎn)是不能夠消除的。你的模型固定了,，你的奇異點(diǎn)也固定了,，通過計(jì)算是消除不掉的，計(jì)算是一個(gè)用估計(jì)解逼近一個(gè)真實(shí)解（精確解）,，精確解本身帶有奇異點(diǎn),，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應(yīng)力奇異點(diǎn)的做法是錯(cuò)誤的,。如果想消除應(yīng)力奇異點(diǎn),，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元,，在某一節(jié)點(diǎn)處加集中力,，那么此處就是一個(gè)奇異點(diǎn)。要消除它的話,，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上,，奇異點(diǎn)就沒有了。
奇異點(diǎn)的定義就是在某一個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)無窮,。舉一個(gè)L形區(qū)域的平面問題,，某一個(gè)邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載，我們會發(fā)現(xiàn)無論荷載多么小,，角點(diǎn)處的應(yīng)力都是無窮,。這就是幾何形狀引起的奇異點(diǎn)。
現(xiàn)在問題來了,，一方面我們知道角點(diǎn)處的應(yīng)力無窮,，另一方面我們知道對于很小的荷載，角點(diǎn)處的應(yīng)力不可能是無窮的,。問題出在什么地方呢,？
首先數(shù)學(xué)模型都是建立在一些假設(shè)上的，比如對于一個(gè)二維平面問題,，平衡方程為 div(sigma) =f,。這個(gè)平衡方程是這么定義的呢？它是指在平面內(nèi)（不包括邊界）任取一點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）,。從平衡方程中可以看出，我們是要求位移的二階倒數(shù)是連續(xù)的,，這個(gè)要求有的時(shí)候很強(qiáng),。因?yàn)檎f不定某處的二階倒數(shù)根本不存在。對于L形區(qū)域問題,，我們只知道區(qū)域內(nèi)的位移的二階倒數(shù)是存在的,，連續(xù)的。角點(diǎn)在邊界上,，我們不知道二階導(dǎo)數(shù)的情況。有可能該點(diǎn)處的二階倒數(shù),，或一階倒數(shù)根本不存在,。通過實(shí)際推倒我們可以發(fā)現(xiàn)，角點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)無窮,。
有限元是用來解偏微分方程的工具,。偏微分方程對導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導(dǎo)數(shù)的要求,，比如有限元要求一階導(dǎo)數(shù)平方可積就行,。所以有限元解可能比偏微分方程反映實(shí)際要解決的問題.
Tonnw：這個(gè)問題單元并不奇異，是幾何結(jié)構(gòu)奇異,，在角點(diǎn)有高應(yīng)力,，但不一定無窮大，應(yīng)力值取決于載何大�,。ú煌�,，角點(diǎn)處應(yīng)力無窮，角點(diǎn)附近的應(yīng)力與載荷大小無關(guān)。）
1.應(yīng)力理論趨于無窮大不代表實(shí)際應(yīng)力值無窮大.最大實(shí)際應(yīng)力不會超過材料的屈服應(yīng)力,當(dāng)線性應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時(shí),應(yīng)起動塑性應(yīng)力分析.（假設(shè)載荷無窮小,，但是奇異點(diǎn)處的應(yīng)力還是無窮大,，難道還要啟動塑性應(yīng)力分析。）
3.在單元形態(tài)不奇異下,細(xì)網(wǎng)格的應(yīng)力更精確些,也就是更接近實(shí)際應(yīng)力（應(yīng)該是更接近精確解,，即所要求解的偏微分方程的精確解）.
但細(xì)網(wǎng)格需更多的CPU時(shí)間和內(nèi)存.所以當(dāng)前后兩次網(wǎng)格的結(jié)果變化在可接受的范圍內(nèi)（這個(gè)可接受范圍怎么定,？，兩次結(jié)果變化指的是什么,，某一點(diǎn)數(shù)值的變化,？）
奇異點(diǎn)處，解析解是無窮大,，與modeling等有關(guān)不能消除,。有限元解，會逼近解析解,，趨于無窮,，然而實(shí)際中，真實(shí)的應(yīng)力值是一個(gè)大值,，應(yīng)該與所加載荷有關(guān)具體,，如何得到真實(shí)的應(yīng)力值，不太清楚,，請繼續(xù)探討這個(gè)問題,！
