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應力集中與應力奇異（轉載）
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應力集中是在機械制造,、航空航天,、造船和建筑等工程應用領域中最常見的問題,，指構件中應力分布不均在局部增高的現(xiàn)象,。
開有圓孔或切口的板條受拉時,，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域,，應力將急劇增加,，但在離開圓孔或切口稍遠處,，應力就迅速降低而趨于均勻,。這種因桿件外形突然變化,，而引起局部應力急劇增大的現(xiàn)象稱為應力集中。
各種材料對應力集中的敏感程度不同,。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下,，可以不考慮應力集中的影響。（塑性材料有屈服階段,，當局部應力達到屈服極限時,，該處材料可繼續(xù)增長，而應力確不增加。如果外力繼續(xù)增加,，增加的力就有截面上尚未達到屈服極限的材料來承擔,，使截面上其他點的應力相繼達到屈服極限。應力不均勻程度大大降低,，也限制了最大應力值）
脆性材料沒有屈服階段,，一直領先，首先達到強度極限,，產生斷裂,。所以要考慮應力集中對零件承載能力的削弱。
但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時,，不論塑性材料還是脆性材料,，應力集中對零件都會產生嚴重的影響。
（以上內容來自材料力學）
繼續(xù):
高人的見解：應力集中是指的在某一個區(qū)域內應力梯度較大,，如果網格稀疏的話,，就不會捕捉到梯度變化較大的應力。有應力集中未必會是應力奇異,。比如二維平面單元中間開有園孔,，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會發(fā)生應力集中,。但是應力并不是無窮,，即不存在應力奇異。但是應力奇異的地方一定存在應力集中,。應力奇異是modelling過程造成的,。我們知道實際問題中，奇異點處的應力不可能是無窮的,。
應力奇異可以來自與很多因素,，比如荷載，邊界條件,，邊界的光滑性,，材料系數(shù)的光滑性，等等,。奇異點的存在導致有限元解的收斂速度很慢,，尤其對于均勻劃分的網格。有興趣的可以試一下L形的平面問題,，檢查一下均勻劃分網格情況下應變能的變化,。使用局部細化或hp方法的原因是因為這兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應力奇異點是不能夠消除的,。你的模型固定了,，你的奇異點也固定了，通過計算是消除不掉的，計算是一個用估計解逼近一個真實解（精確解）,，精確解本身帶有奇異點,，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應力奇異點的做法是錯誤的,。如果想消除應力奇異點,，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元,，在某一節(jié)點處加集中力,，那么此處就是一個奇異點。要消除它的話,，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上,，奇異點就沒有了。
奇異點的定義就是在某一個點處導數(shù)無窮,。舉一個L形區(qū)域的平面問題,，某一個邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載,，我們會發(fā)現(xiàn)無論荷載多么小,，角點處的應力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點,。
現(xiàn)在問題來了,，一方面我們知道角點處的應力無窮，另一方面我們知道對于很小的荷載,，角點處的應力不可能是無窮的,。問題出在什么地方呢？
首先數(shù)學模型都是建立在一些假設上的,，比如對于一個二維平面問題,，平衡方程為 div(sigma) =f。這個平衡方程是這么定義的呢,？它是指在平面內（不包括邊界）任取一點,，這個點的鄰域內的任意點都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）。從平衡方程中可以看出,，我們是要求位移的二階倒數(shù)是連續(xù)的，這個要求有的時候很強,。因為說不定某處的二階倒數(shù)根本不存在,。對于L形區(qū)域問題，我們只知道區(qū)域內的位移的二階倒數(shù)是存在的,，連續(xù)的,。角點在邊界上，我們不知道二階導數(shù)的情況。有可能該點處的二階倒數(shù),，或一階倒數(shù)根本不存在,。通過實際推倒我們可以發(fā)現(xiàn)，角點處的一階導數(shù)無窮,。
有限元是用來解偏微分方程的工具,。偏微分方程對導數(shù)的連續(xù)性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導數(shù)的要求,，比如有限元要求一階導數(shù)平方可積就行,。所以有限元解可能比偏微分方程反映實際要解決的問題.
Tonnw：這個問題單元并不奇異，是幾何結構奇異,，在角點有高應力,，但不一定無窮大，應力值取決于載何大�,。ú煌�,，角點處應力無窮，角點附近的應力與載荷大小無關,。）
1.應力理論趨于無窮大不代表實際應力值無窮大.最大實際應力不會超過材料的屈服應力,當線性應力超過屈服應力時,應起動塑性應力分析.（假設載荷無窮小,，但是奇異點處的應力還是無窮大，難道還要啟動塑性應力分析,。）
3.在單元形態(tài)不奇異下,細網格的應力更精確些,也就是更接近實際應力（應該是更接近精確解,，即所要求解的偏微分方程的精確解）.
但細網格需更多的CPU時間和內存.所以當前后兩次網格的結果變化在可接受的范圍內（這個可接受范圍怎么定？,，兩次結果變化指的是什么,，某一點數(shù)值的變化？）
奇異點處,，解析解是無窮大,，與modeling等有關不能消除。有限元解,，會逼近解析解,，趨于無窮，然而實際中,，真實的應力值是一個大值,，應該與所加載荷有關具體，如何得到真實的應力值,，不太清楚,，請繼續(xù)探討這個問題！
開有圓孔或切口的板條受拉時,，在圓孔或切口附近的局部區(qū)域,，應力將急劇增加,，但在離開圓孔或切口稍遠處,，應力就迅速降低而趨于均勻,。這種因桿件外形突然變化,，而引起局部應力急劇增大的現(xiàn)象稱為應力集中。
各種材料對應力集中的敏感程度不同,。用塑性材料制成的零件在靜載荷作用下,，可以不考慮應力集中的影響。（塑性材料有屈服階段,，當局部應力達到屈服極限時,，該處材料可繼續(xù)增長，而應力確不增加。如果外力繼續(xù)增加,，增加的力就有截面上尚未達到屈服極限的材料來承擔,，使截面上其他點的應力相繼達到屈服極限。應力不均勻程度大大降低,，也限制了最大應力值）
脆性材料沒有屈服階段,，一直領先，首先達到強度極限,，產生斷裂,。所以要考慮應力集中對零件承載能力的削弱。
但是零件承受周期性載荷或沖擊載荷時,，不論塑性材料還是脆性材料,，應力集中對零件都會產生嚴重的影響。
（以上內容來自材料力學）
繼續(xù):
高人的見解：應力集中是指的在某一個區(qū)域內應力梯度較大,，如果網格稀疏的話,，就不會捕捉到梯度變化較大的應力。有應力集中未必會是應力奇異,。比如二維平面單元中間開有園孔,，另一端受拉伸集度載荷，這樣園孔處有兩部分會發(fā)生應力集中,。但是應力并不是無窮,，即不存在應力奇異。但是應力奇異的地方一定存在應力集中,。應力奇異是modelling過程造成的,。我們知道實際問題中，奇異點處的應力不可能是無窮的,。
應力奇異可以來自與很多因素,，比如荷載，邊界條件,，邊界的光滑性,，材料系數(shù)的光滑性，等等,。奇異點的存在導致有限元解的收斂速度很慢,，尤其對于均勻劃分的網格。有興趣的可以試一下L形的平面問題,，檢查一下均勻劃分網格情況下應變能的變化,。使用局部細化或hp方法的原因是因為這兩種方法能使有限元解較快的收斂。但是注意應力奇異點是不能夠消除的,。你的模型固定了,，你的奇異點也固定了，通過計算是消除不掉的，計算是一個用估計解逼近一個真實解（精確解）,，精確解本身帶有奇異點,，怎么能夠消除呢？所以嘗試消除應力奇異點的做法是錯誤的,。如果想消除應力奇異點,，你的modelling過程就需要改變。比如二維平面單元,，在某一節(jié)點處加集中力,，那么此處就是一個奇異點。要消除它的話,，可以把集中力變成集度線載荷加到一段長度很小的線上,，奇異點就沒有了。
奇異點的定義就是在某一個點處導數(shù)無窮,。舉一個L形區(qū)域的平面問題,，某一個邊固定，在另外的任意邊上加無窮小的集度荷載,，我們會發(fā)現(xiàn)無論荷載多么小,，角點處的應力都是無窮。這就是幾何形狀引起的奇異點,。
現(xiàn)在問題來了,，一方面我們知道角點處的應力無窮，另一方面我們知道對于很小的荷載,，角點處的應力不可能是無窮的,。問題出在什么地方呢？
首先數(shù)學模型都是建立在一些假設上的,，比如對于一個二維平面問題,，平衡方程為 div(sigma) =f。這個平衡方程是這么定義的呢,？它是指在平面內（不包括邊界）任取一點,，這個點的鄰域內的任意點都滿足該平衡方程（鄰域不接觸邊界）。從平衡方程中可以看出,，我們是要求位移的二階倒數(shù)是連續(xù)的，這個要求有的時候很強,。因為說不定某處的二階倒數(shù)根本不存在,。對于L形區(qū)域問題，我們只知道區(qū)域內的位移的二階倒數(shù)是存在的,，連續(xù)的,。角點在邊界上，我們不知道二階導數(shù)的情況。有可能該點處的二階倒數(shù),，或一階倒數(shù)根本不存在,。通過實際推倒我們可以發(fā)現(xiàn)，角點處的一階導數(shù)無窮,。
有限元是用來解偏微分方程的工具,。偏微分方程對導數(shù)的連續(xù)性是有要求的。但是有限元能夠弱化對導數(shù)的要求,，比如有限元要求一階導數(shù)平方可積就行,。所以有限元解可能比偏微分方程反映實際要解決的問題.
Tonnw：這個問題單元并不奇異，是幾何結構奇異,，在角點有高應力,，但不一定無窮大，應力值取決于載何大�,。ú煌�,，角點處應力無窮，角點附近的應力與載荷大小無關,。）
1.應力理論趨于無窮大不代表實際應力值無窮大.最大實際應力不會超過材料的屈服應力,當線性應力超過屈服應力時,應起動塑性應力分析.（假設載荷無窮小,，但是奇異點處的應力還是無窮大，難道還要啟動塑性應力分析,。）
3.在單元形態(tài)不奇異下,細網格的應力更精確些,也就是更接近實際應力（應該是更接近精確解,，即所要求解的偏微分方程的精確解）.
但細網格需更多的CPU時間和內存.所以當前后兩次網格的結果變化在可接受的范圍內（這個可接受范圍怎么定？,，兩次結果變化指的是什么,，某一點數(shù)值的變化？）
奇異點處,，解析解是無窮大,，與modeling等有關不能消除。有限元解,，會逼近解析解,，趨于無窮，然而實際中,，真實的應力值是一個大值,，應該與所加載荷有關具體，如何得到真實的應力值,，不太清楚,，請繼續(xù)探討這個問題！
