GD&T系列 - 三坐標測量的矢量誤差算法

幾何公差尺寸鏈

     三坐標測量減少了人為的測量誤差,，但也限制了測量者的創(chuàng)造性，如果了解三坐標測量的原理,，可以在特殊情況下準確設計測量方法,，快速分析測量問題。另外對于三坐標測量原理的理解也可以加深GD&T的理解,，能夠合理圖紙設計,，在設計階段就能夠滿足測量的可行性，降低了設計成本,，提高了設計能力,。

三坐標如何測量誤差？

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圖1：為了便于解釋CMM測量的原理,，案例使用了2D圖顯示,，3D空間是一樣的算法。

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       圖中n代表數(shù)模的表面,，一個理論曲面,；相對應的是零件的實際加工表面a；理論曲面a和實際加工表面a存在偏差,，這個偏差即是上下偏差+t和-t,；測量的目的就是確定實際表面a和理論表面n之間的距離，即零件的偏差,。

去確定這個偏差,，還要定義兩個坐標系，一個是三坐標的固有坐標系MCS（OXY），另一個是零件的固有坐標系PCS（OX1Y1）,，三坐標的軟件都有補償這兩個坐標系偏差的算法,。

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圖2：測量細節(jié)

        測量時使用三坐標的寶石球探針接觸選定測量的點Pn，并且沿著Pn點表面的垂直矢量方向（面的垂直方向）接觸零件,，那么探針將接觸到零件的實際表面a上的實際測量點Pa,。因為探針寶石球的中心亦沿著矢量v移動，根據(jù)已知寶石球的半徑,，理論點Pn和實際零件測量點Pa之間的距離就可以求出d,，也就是Pa點的偏差d可以通過這種簡單方式求出。因為d是沿著矢量v的方向,，如果將d沿著PCS的X1和Y1軸分解，可以分別得到這個零件沿著零件坐標系（由零件基準建立）的偏差Δx和Δy,，并且可以看出曲面上的點的偏差是垂直表面的方向偏差,。

      因為三坐標能夠自動計算零件表面的矢量，這些過程三坐標軟件內部可以自動完成,，測量報告會自動計算出偏差d,分量Δx和Δy,。

      因此矢量就很重要，矢量（也稱為歐幾里得向量,、幾何向量,、向量）。向量其實就是帶箭頭的線段,，具有長度和方向,，一個曲面的單位向量通常使用i，j,，k表示,。

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圖3：投影公差

       在實際測量中，探針不能保證實際接觸點Pa處于理論Pn點的向量v上,，實際接觸點有可能是Pa1和Pa2兩種情況,。這種情況下，三坐標軟件的計算方法是將向量投影到向量v上,，使用到了向量投影的算法：

      以上公式,，向量v由三坐標軟件通過數(shù)模計算得出，被測點Pa的實際坐標也可以由測頭給出,，而Pn是設定已知值,，所以可以得出最后的投影值|PnP2|，即我們想得到的此點的偏差,，可以知道θ2在材料外部時,，θ2＜90°，cosθ2＞0，結果為正公差,；當Pa1在材料內部時,，θ1＞90°，cosθ1＜0,，結果為負公差,。這個算法也是輪廓度定義時材料內部為負，材料外部為正公差的由來,。

      因為Pn是理論值,，Pa是測量值，那么測量的精度可以看到主要來自于向量v的精度,。當然還有其它很多的誤差影響,，比如Pa的測量也不準確，三坐標軟件通常需要補償測量的誤差,。

       對于v的值,，目前我們給的方法是使用數(shù)模，由于AI深度學習的應用,，目前的測量技術發(fā)展很快,，三坐標已經可以通過分析已經收集數(shù)據(jù)，在沒有數(shù)模的情況下,，較準確的給出未知測量表面上的垂直矢量,，可接觸測量也實現(xiàn)了對于柔性零件的測量。

那么投影到Pn點的切線方向的誤差呢,？

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圖4：切向方向的誤差

     因為零件表面總是同理論表面有偏差,，另外設備即是知道矢量方向，也不可能準確的沿矢量方向路徑移動,。所以必然會錯過理論點Pn,，并且同時錯過對應的實際點Pa。當測頭沿著預定的第一次路徑移動,，測頭中心同矢量v重合,，即得到測頭圓弧同矢量v的交點，即理論Pn點,。但是此時仍然沒有接觸到零件表面,，因此會繼續(xù)沿著第一次測量路徑運動，直到接觸零件表面Pa1點,，明細這個接觸點不是我們期望Pn對應的Pa點,，我們不能簡單的通過Pn-Pa的公式取計算零件偏差。在測量過程中實際上也無法找到Pa,，我們只能盡量接近Pa,，這時候Pn點的切向方向就可以用來修正這種誤差，也就是矢量v的垂直方向部分。剛才我們計算了接觸點的投影作為測量偏差,，這個偏差能夠有說服力作為測量偏差之前,，測量設備還要評價實際測量點是否足夠接近測量點Pa, 就是實際測量點在此點的切向投影，這個值設置為e1,那么e1應該是多少,？

       不同的三坐標公司的標準不同,，通常這個值e = (﹢t-（-t））/2。

       也就是當e1<=e時,，測量值符合要求,；

        當e1>e時，測量需要沿著路徑二繼續(xù)測量,，三坐標經過一次調整,，重新得到接觸點Pa2，迭代運行,，直到e2<=e,。此時的Pa2投影到v向量上的da2輸出作為合理的測量結果。

       如果繼續(xù)探討,，da2測量值是在MCS坐標系下的結果,，MCS和PCS不可能絕對重合,，所以還需要在OXY和OX1Y1兩個坐標系上進行補償,，PCS通常是通過零件上的基準建立，進一步來說,，如果零件安裝在檢具上,，那么又引入了第三個檢具的坐標系。所以三坐標廠家的測量誤差補償?shù)牟呗跃秃苤匾�,，這也是不同廠家三坐標會產生測量不對標的情況,。

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遠祥

這種是否可以簡單一些,，用三坐標打點檢測。