軸向受拉圓管的內(nèi)外徑變形研究（初步）

逍遙處士

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9 I0 j% h- x% g5 j1 k! Z無(wú)事看貼時(shí),，發(fā)現(xiàn)一個(gè)很久以前的題目。說(shuō)一個(gè)圓管,，在受到軸向拉伸時(shí),，其內(nèi)徑是變大還是變小,？

初想此事很容易,，但細(xì)想，頗費(fèi)思量,。設(shè)圓管內(nèi)徑r1,，外徑r2，受軸向拉力,，并且應(yīng)力在截面上是均勻分布的,，那么根據(jù)胡克定律,，圓筒在軸向是伸長(zhǎng)的。同時(shí),，根據(jù)材料的泊松比,，即材料在一個(gè)方向受到拉力時(shí)，在另外兩個(gè)方向會(huì)自己收縮,。另外兩個(gè)方向,，無(wú)非是徑向和環(huán)向，再加上軸向,，剛好湊上空間的三個(gè)方向,。

這個(gè)破費(fèi)思量，問(wèn)題在哪里呢,？如果是實(shí)心圓柱,，問(wèn)題就很簡(jiǎn)單了，半徑r變小就對(duì)了,。但是這里有三個(gè)參數(shù),，內(nèi)徑r1，外徑r2,，壁厚δ,，就不太好一眼看出來(lái)。若以壁厚為準(zhǔn)來(lái)判斷,，那么外徑變小,，內(nèi)徑變大，則壁厚變小,，似乎可以說(shuō)的過(guò)去,；但總感覺(jué)內(nèi)徑變大，似難以令人信服,；另外,，如果外徑變小，內(nèi)徑也變小,，那么壁厚是變大還是變小呢,？變小多少呢？
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就我的理解,，泊松效應(yīng)反應(yīng)的,，可以說(shuō)是材料的“每個(gè)微粒”的性質(zhì),，也就是說(shuō),，當(dāng)在正向受拉力時(shí)，在另外兩個(gè)側(cè)向上,，任意找兩點(diǎn)連成一條線段（無(wú)論多么遠(yuǎn),，也無(wú)論多么近）,，那么這條線段都是符合泊松效應(yīng)的。有人說(shuō),，如果是一個(gè)圓呢,？經(jīng)過(guò)研究，圓也是符合的,。為什么呢,？因?yàn)閳A可以視作正n多邊形，那么每一條邊都是一條線段,，當(dāng)n很大時(shí),，這個(gè)多邊形和圓就幾乎沒(méi)有分別了。所以說(shuō)圓也是符合泊松效應(yīng)的,，它不過(guò)是很多線段組成的一個(gè)特例。
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那么就本例看來(lái),，有3個(gè)方面是符合泊松效應(yīng)的,。即內(nèi)周長(zhǎng)C1，外周長(zhǎng)C2,，壁厚δ,，并且它們的應(yīng)變都是相等的。

/ C# l0 A4 L" t+ A! s, H前面說(shuō)過(guò)頗費(fèi)思量,，既然頗費(fèi)思量,，那就借助代數(shù)符號(hào)吧，將思維過(guò)程,，固化到紙上,，來(lái)幫助思維，于是列出式子來(lái)推算,。
最后得出的結(jié)論是,，無(wú)論軸向是拉是壓，內(nèi)外徑變大還是縮小,，變形前后,，有一個(gè)數(shù)是始終不變的，那就是——內(nèi)外徑之比,！
（純粹是理論推導(dǎo)結(jié)果,，推導(dǎo)的正確與否，與實(shí)際是否符合,，還未可知,，請(qǐng)不吝賜教！）
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如果拉伸的是內(nèi)徑φ60外徑φ120的圓管,，它可能的變形如下圖,，可以看出，外徑縮小量,，比內(nèi)徑縮小量要大：



- t; D4 H/ k1 e4 c……式子推到一半時(shí),，軟件崩潰了！算了,，夜已深，回去休息吧,。洗漱完畢,，坐在床上，想到式子沒(méi)推完,，尋摸著,，摸到一支筆,！但卻沒(méi)找到紙！沒(méi)奈何,，扯到一張衛(wèi)生紙湊合寫(xiě)起,。這一寫(xiě)感覺(jué)還挺好，源源不斷的,，心想以后也不用買(mǎi)本兒了,，就用它吧 ^_^

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星爺曾說(shuō)過(guò)，“即使是一條底褲,，一張衛(wèi)生紙,，都有它的用處”，……信哉斯言,！

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探索號(hào)QM

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  p8 L( q5 P" z# x. Y6 L換句話說(shuō)，就是在軸向均布載荷作用下,，垂直于軸線的截面上,，任何一點(diǎn)的徑向應(yīng)變應(yīng)該都是相同的？
& u) ]7 t% l4 P+ m- |  \. ]軸向載荷的形式有沒(méi)有設(shè)定上的不同,？

LIAOYAO

管和棒的變形規(guī)律應(yīng)該類(lèi)似,，始由厚度變化,，管壁先變薄往厚度中間移動(dòng)，在管壁被拉薄其拉強(qiáng)增高，當(dāng)大于圓管整體拉強(qiáng)后,，管整開(kāi)始出現(xiàn)內(nèi)縮現(xiàn)象,，如此反復(fù)互動(dòng)，直到管整某處產(chǎn)生裂紋,，隨后迅速擴(kuò)展成裂縫,，再繼續(xù)拉則最終拉斷圓管。

mfka

大俠的鉆研精神值得佩服,。
% b9 {4 c7 }5 V. r% |7 J/ `半夜三更不睡覺(jué),，老婆沒(méi)嘮叨你？

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新人不懂

zerowing

看看這個(gè),。
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zerowing

于是有以下推論,。
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那么很顯然，作為壁厚的t的變量為0,。也就是說(shuō),，當(dāng)拉伸的時(shí)候，外徑和內(nèi)徑同時(shí)減小，但壁厚不變,。
于是作了個(gè)簡(jiǎn)單的有限元,。

+ y  ~; M9 m3 h" y6 ^; \從圖里能看到這個(gè)變化趨勢(shì)。圖為拉伸后的合位移向量圖,。
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zerowing

這張是拉伸力發(fā)達(dá)1000倍以后的，實(shí)際上已經(jīng)發(fā)生塑性變形,。
; k0 b: l9 C  p+ V# r9 [可以看下端面的情況,。
四個(gè)圓表示變化前后的圓環(huán)面位置。從圖上看,，在變形量發(fā)大1400倍的情況下,，壁厚幾乎不變。

minfu51

都是高手啊

逍遙處士

zerowing 發(fā)表于 2013-7-14 15:30
這張是拉伸力發(fā)達(dá)1000倍以后的，實(shí)際上已經(jīng)發(fā)生塑性變形,。
可以看下端面的情況,。
8 @# C1 p6 m+ P" c2 u7 g四個(gè)圓表示變化前后的圓 ...

壁厚沒(méi)變化？不合理�,�,？
, T$ I% x" d) b! z/ _能否在未變形的截面上標(biāo)記兩個(gè)點(diǎn)，測(cè)量它們的距離,，變形后再測(cè)量一次,？
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