如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子,，建議你別搞測度論

zerowing

看完通篇也是一項龐大的工程。不過感覺整篇描述的“測度”是一個如何把連續(xù)和離散統(tǒng)一起來的方法,。
$ B$ b8 r8 s- U; f# ?8 P% A4 ?里面的有些敘述很生動,，但是不太嚴(yán)謹(jǐn)。比如4.22的由來那段,。俺只能理解連續(xù)封閉子集的和,，而如果這些子集不封閉，那也不該有4.22,，即便是在直線上截取的,。或者,，換句話說,，開子集不可測。而線段一定不是開子集,。好吧,，又成繞口令了。
, L$ I# N6 K3 i5 ?6 M  e搞數(shù)學(xué)的最后果然都是會瘋的

zerowing

說點疑惑,。感覺這種測度論其實變相的避開了解釋如何從點到線的解釋,。所以，我能理解哲學(xué)家對此的不滿,。（笑）
比如我前面說的子集問題,。
一條線段真的能分成若干可相加的子集嗎,？比如，［1,10]的線段,，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？那么這兩個子集是相交的，不是嗎,？因為都存在5這個點,。而如何寫成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是兩條線段,，因為后面這個子集缺少了一個端點,。那么這種情況，貌似這種測度的定義就變得不那么完善了又,。
所以,，從這方面講，我并不喜歡這種數(shù)學(xué)上的定義,。我可以理解任意一個高維度空間都可以表現(xiàn)低維度空間的特征,，比如三維中表現(xiàn)一維的線段長,，表現(xiàn)二維的面積,；但你絕對不可能在一維中表現(xiàn)出體積和面積。這不僅僅是尺度問題,。我更傾向于低維度特征是用以表現(xiàn)高維度特征的參考位這種說法,。詳細(xì)的說，低維度特征無論在哪都只表現(xiàn)其自身的特征,，而高維度的特征只是借助低維度的特征作為一個參考位進(jìn)而表現(xiàn)高維度的特征,。
因此，你可以在三維中,，以表現(xiàn)面積特征的面作為參考位表現(xiàn)出兩個面參考位之間的度量特征,，這個特征就是體。這跟面有沒有體積特征沒有任何關(guān)系,，他只是一個位,，如果表達(dá)成數(shù)學(xué)，就是[a,b],。面特征的參考位相當(dāng)于a,b位點,，而體積特征描述的是a,b之間的所有集合加成，無論是開集合還是閉集合,。它并不在乎你有多少個重復(fù)位,，有多少個離散點，它只在乎a和b之間的相對位置,。

zerowing

換句話說,，比如從點到線段,，線段游低維度的點組成，但不是說線段上該有多少個點,，線段特征表達(dá)只是在描述任意兩個以點為參考位的相對特征,。所以，這之間有多少點,，多少重復(fù)都無所謂,，無所謂點之間如何排列組合，無所謂連續(xù)離散,。因為特征表述不同,。
) M  ^6 o% r* C- ^1 @4 M1 B" b" Z當(dāng)然，這樣的說法有點類似所謂的尺度論,。

獨自莫憑欄

zero有點上癮了

阿難和松山

我了個去�,。�

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 14:21
說點疑惑,。感覺這種測度論其實變相的避開了解釋如何從點到線的解釋,。所以，我能理解哲學(xué)家對此的不滿,。（笑 ...

, q% E  L4 q8 P% U" f“比如,，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？”
7 o+ ~1 J( J: N. M, B* ~
可以,，可測集的線性可加性質(zhì)
7 G% L9 Z7 n( G/ L
“而如何寫成[1,5]和(5,10]”
" n) e; r& O) T0 T
一個閉集，一個開集,，找本數(shù)學(xué)分析書來看,，都有嚴(yán)格定義，順便說句(5,，10],，[5,10]的勒貝格測度都是5，去掉單點是不影響一個連續(xù)統(tǒng)的測度的
) t% J- s- `6 j
關(guān)于高維測度,，其實高維測度可視為一維勒貝格測度的笛卡爾積
2 @' W" L9 \) X' r: e1 z; O. I3 `
“比如從點到線段,，線段游低維度的點組成”

# Y, q: v3 z4 }2 |* T& ~* Y這句話是錯的，點是可數(shù)集,，線段是連續(xù)統(tǒng),，有本質(zhì)的區(qū)別，不能將線段視為由點組成的,�,？梢赃@么說，單個點構(gòu)成的集合，測度一定是0,，而線段,，你可以將他視為，測度不為0的可測集的最小單位
: J4 h  {/ y5 M

の小南灬

pacelife

很有收獲，希望樓主多發(fā)類似的文章

1032220424

太能研究了,，看暈了

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
“比如,，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？”

: U3 V' w4 F/ h, t' {* k可以,，可測集的線性可加性質(zhì)

呵呵，大俠,，我希望你仔細(xì)看下這個問題,。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義,。
+ k: U. V7 d1 I& C/ c, `- Y! _8 p你轉(zhuǎn)的文章里有這樣的一個性質(zhì)：
) ?( u; e' y6 C

若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集,，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和,。

. S- C2 }. a7 X! h9 N; L請注意這個彼此不相交子集的概念,。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段,，不是嗎,？因為子集相交了。這個不用再去看什么書去論證,，因為我們只是在說集合問題。
同樣的,，當(dāng)我們說[5,10]去掉一個端點5,，于是變成了(5,10]。那么,，無論他是否影響測度（其實俺不敢茍同不影響說,，因為只從數(shù)學(xué)角度說沒問題，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了,，后面說）,，無論是否影響測度，都不代表說(5,10]可以表示一個線段,。換句話說,，（5，10] 和[5,10]的測度相同,，但不應(yīng)該是一樣的東西,。如果這么說沒問題,，那么問題就來了，按照這樣的測度定義,，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加,，雖然在測度上相等，但是組成新線段的各個部分并非都是線段,。沒錯,，這樣說，數(shù)學(xué)上沒有問題,，只是無論是哲學(xué)家還是工程師都要頭疼了,。哈哈。
于是,，再說說那個延伸到整體世界角度的問題,。舉個例子，大俠買了一量蘭博停在門口,。這是起始時間點,，然后你開出去，轉(zhuǎn)一圈又�,；氐胶驮�先完全相同的位��,，這是終止時間點。這個過程相當(dāng)于這量車在四維空間中的一個變化,。那么問題就來了,，如果我拿掉最后一個時間點，會發(fā)生什么,。其結(jié)果就是終態(tài)不可確定,。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點的變化可能是任意的，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個終態(tài)（1000米）,，也可能跳躍回初態(tài)（0米）,。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現(xiàn)象。將路徑折疊,，初點和終點重疊而去掉終點,，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎,？而如果存在這個終點,，也就是有一個必然的結(jié)果，那么就一定存在初,、終差異,，就不可能實現(xiàn)所謂的超時空穿行。我們不討論到底能不能超時空，能不能折疊,，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點是完全不同的,，而且其測度（或者應(yīng)該換一種叫法，叫量度,？）是不同的,。

再回到所謂的維度上。
我們先不討論說線段是不是由點組成,，我們既不討論其連續(xù)性,，也不討論其測度。我們換一種說法,，如果存在一個線段,，那么我一定能在這個線段上找到點，無論能找到多少個,，但我一定能找到,。因此說，點和線段之間至少構(gòu)成一個必要條件關(guān)系,，也就是說,，存在一個線段，就一定存在線段上的點,。至于是不是線段上的點的組合構(gòu)成了這個線段,，從測度上說不是，我也不認(rèn)同它是,。所以才要在那句“線段由低維度的點組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點”,。
另外，大俠說到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別,，也因此說線段不能說成由點組成,。那么存在這樣一個問題又。（當(dāng)然,，俺數(shù)學(xué)一般,，如果有錯，大俠指出）因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積,，而笛卡爾積是兩個集合的積，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合,。那么,，如果這兩個集合不是可數(shù)集，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集,，你該如何求積呢？之前在跟P大討論無限小數(shù)的時候也討論過這個問題，兩個無限位的數(shù)能否四則運算,。哈哈,。那么這里的問題恐怕比那個還要復(fù)雜。換句話說,，如果兩個連續(xù)統(tǒng)沒辦法求積,，那么該如何表達(dá)高維度的特征呢？當(dāng)然,，我們只是探討,，不能論證這種觀點的正確性。
* R5 K  `: v& g" ?, M* t另外,，也說一句,，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積，那么從0維到1維的過程該如何解釋,？畢竟點是沒有維度的,。