如果不是數(shù)學(xué)狂熱分子,，建議你別搞測度論

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-8 15:05
  t* c8 I5 S& V' S3 M* P“比如,，［1,10]的線段，可以分為[1,5]和[5,10]兩個線段子集嗎,？”
5 w& b; [  X/ Z/ c6 j, G0 `
) n+ A& Q, J- b可以,，可測集的線性可加性質(zhì)

呵呵，大俠,，我希望你仔細(xì)看下這個問題,。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義,。
你轉(zhuǎn)的文章里有這樣的一個性質(zhì)：

若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集,，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和,。

請注意這個彼此不相交子集的概念,。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能寫成[1,5]和[5,10]兩段,，不是嗎,？因為子集相交了。這個不用再去看什么書去論證,，因為我們只是在說集合問題,。
1 w6 e0 ?9 T: H) j同樣的，當(dāng)我們說[5,10]去掉一個端點5,，于是變成了(5,10],。那么，無論他是否影響測度（其實俺不敢茍同不影響說,，因為只從數(shù)學(xué)角度說沒問題,，但是延伸到一個整體世界角度就很難講了，后面說）,，無論是否影響測度,，都不代表說(5,10]可以表示一個線段,。換句話說，（5,，10] 和[5,10]的測度相同,，但不應(yīng)該是一樣的東西。如果這么說沒問題,，那么問題就來了,，按照這樣的測度定義，那么一條線段就不該是若干條線段的疊加,，雖然在測度上相等,，但是組成新線段的各個部分并非都是線段。沒錯,，這樣說,，數(shù)學(xué)上沒有問題，只是無論是哲學(xué)家還是工程師都要頭疼了,。哈哈,。
于是，再說說那個延伸到整體世界角度的問題,。舉個例子,，大俠買了一量蘭博停在門口。這是起始時間點,，然后你開出去,，轉(zhuǎn)一圈又停回到和原先完全相同的位置,，這是終止時間點。這個過程相當(dāng)于這量車在四維空間中的一個變化,。那么問題就來了,，如果我拿掉最后一個時間點，會發(fā)生什么,。其結(jié)果就是終態(tài)不可確定,。那么也就是說這量蘭博在最后那個時間點的變化可能是任意的，它既可能延續(xù)之前的狀態(tài)（比如行使了1000米）成為一個終態(tài)（1000米）,，也可能跳躍回初態(tài)（0米）,。這就是幾乎所有幻想家所暢想的一個折疊現(xiàn)象。將路徑折疊,，初點和終點重疊而去掉終點,，那么就能做到超時空旅行。但這可能嗎,？而如果存在這個終點,，也就是有一個必然的結(jié)果,，那么就一定存在初、終差異,，就不可能實現(xiàn)所謂的超時空穿行,。我們不討論到底能不能超時空，能不能折疊,，但至少通過這樣的例子我們很清楚有沒有這個點是完全不同的,，而且其測度（或者應(yīng)該換一種叫法，叫量度,？）是不同的,。

9 K# \+ O- Z- V, Z" E! R- L再回到所謂的維度上,。
& K; w" X. j& G" v2 L我們先不討論說線段是不是由點組成,，我們既不討論其連續(xù)性，也不討論其測度,。我們換一種說法,，如果存在一個線段,，那么我一定能在這個線段上找到點,，無論能找到多少個，但我一定能找到,。因此說,，點和線段之間至少構(gòu)成一個必要條件關(guān)系,，也就是說,，存在一個線段，就一定存在線段上的點,。至于是不是線段上的點的組合構(gòu)成了這個線段,，從測度上說不是，我也不認(rèn)同它是,。所以才要在那句“線段由低維度的點組成”后面加上一個限制“并不是說線段上該有多少個點”。
另外,，大俠說到了可數(shù)集和連續(xù)統(tǒng)的區(qū)別,，也因此說線段不能說成由點組成,。那么存在這樣一個問題又。（當(dāng)然,，俺數(shù)學(xué)一般,，如果有錯,，大俠指出）因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積，而笛卡爾積是兩個集合的積,，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合,。那么，如果這兩個集合不是可數(shù)集,，而是連續(xù)統(tǒng),，即不可數(shù)集，你該如何求積呢,？之前在跟P大討論無限小數(shù)的時候也討論過這個問題,，兩個無限位的數(shù)能否四則運(yùn)算。哈哈,。那么這里的問題恐怕比那個還要復(fù)雜,。換句話說，如果兩個連續(xù)統(tǒng)沒辦法求積,，那么該如何表達(dá)高維度的特征呢,？當(dāng)然，我們只是探討,，不能論證這種觀點的正確性,。
+ E  r  ~9 V: O/ }5 Q# u+ @另外，也說一句,，如果高維度都是一維勒式測度的笛卡爾積,，那么從0維到1維的過程該如何解釋？畢竟點是沒有維度的,。

房頂

文筆生動有趣,，但看得真心頭大

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-8 23:36
: G: D. j7 d* h6 ?, F呵呵，大俠,，我希望你仔細(xì)看下這個問題,。這個問題不是探討是否可加，而是探討所謂的定義,。
0 D8 z, I, {. Y' J6 M' ^" C1 [你轉(zhuǎn)的文章里 ...

$ Q) D: w7 j. g( ?7 h8 ?首先回答第一個問題，可以在測度論的教科書上找到

數(shù)學(xué)上集合彼此不相交,，可以允許兩種情況,，1是交集是空集，2是交集是可數(shù)集,，測度為0,，都屬于彼此不相交；也就是說,，2個集合求交集后得到的集合,，只要測度為0,，就是不相交，哪怕這個交集是可數(shù)無窮集合
9 _8 W) Z3 Z* i- Y
然后第二問題

為了簡化敘述,，我假設(shè)自己開車,，從0開到100，也就是形成一個閉集[0,100],；現(xiàn)在你的想法是把100這個點挖掉,，構(gòu)成一個開集[0,100)，因為最后100那個點不存在,，所以你認(rèn)為整個運(yùn)動也不存在,？？其實可以這么說,，極限想必都學(xué)過,，開集[0,100)，雖然在100那個點沒有定義了,，但是可以把他視作一個極限,。
' n4 |, }1 M7 ^
我們來構(gòu)造一個函數(shù)，你就能想明白一個問題,，我們構(gòu)造函數(shù)f(x):,，當(dāng)x=2時，y不存在,，當(dāng)x不等于2之外的所有實數(shù)時,，y=x；現(xiàn)在我們來考慮,，當(dāng)x從0不斷趨近與2時,，y=f(x)的最終趨勢？,？,，雖然x=2時，y是不存在的,，但是你畫個圖就明白了,，x不斷向2趨近時，y是不斷向2趨近的,，這和y在x=2這個點上沒有定義沒有任何關(guān)系,。那么我們回過頭來看，在開集[0,100)上開車,，雖然100無法到達(dá),，但是可以無限趨近100，其最終趨勢依然是100,，我開車總距離也終有一天可以到達(dá)100（雖然其花費時間為無窮,，因為100這點沒有定義,，不可到達(dá)），這就是為什么,，一個閉集,，挖掉端點上的單點，形成一個開集后,，不影響集合測度,。
/ r- \. B  O, p% ]. p. N
最后是第三個問題

; K- [, L3 v! w1 ]首先強(qiáng)調(diào)一點，數(shù)學(xué)上沒有0維,，所以沒有1維是0維通過笛卡爾積升級過來的說法
/ b8 m' _) `. |* y2 H8 [
& m* S, @3 M5 A  _然后,，關(guān)于線段和點的關(guān)系，務(wù)必要拋棄“線段是由點構(gòu)成”這個想法,，線段和點是2個獨立的元素,，但是線段上可以找到無窮多個點，除此之外,，再無任何關(guān)系,，切記這個。
, w! n  @, Q) }1 I  M, ?% T5 J
- U$ @+ n! m9 E  }* N“因為高維度可以解釋為低維度的笛卡爾積,，而笛卡爾積是兩個集合的積,，確切的說是兩個集合中的各個元素的積的集合。那么,，如果這兩個集合不是可數(shù)集,，而是連續(xù)統(tǒng)，即不可數(shù)集,，你該如何求積呢,？”
5 J/ F1 A' u3 O6 u6 w' ?
0 u# k7 |+ J) D( l  d4 V7 G要回答這個問題，首先給出測度的嚴(yán)格定義,，看不懂沒關(guān)系,，我會用最通俗的語言來解釋

! k; ^' r7 Z9 {! j設(shè)Γ是集合X上一σ代數(shù)，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數(shù),，且ρ滿足：
3 D, K/ \5 H  }5 c2 N& j- a) w# {（1）（非負(fù)性）對任意的A∈Γ,，有ρ(A)≧0;
（2）（規(guī)范性）ρ(Φ) = 0；
（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1,，A2,，……，An,，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）
. E/ [# L0 _3 n4 T則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集,，不在Γ中的集合是不可測集,。
" M1 x; \# H. m. G
, }5 \4 q3 `4 k
所以呢,，測度其實就是一個函數(shù)，自變量是一個集合,，因變量是一個實數(shù),，至于這個函數(shù)的運(yùn)算法則，不同的運(yùn)算法則對應(yīng)著不同的測度,；用我們常識所形成的法則,，得到線段（集合）的一個度量的實數(shù)，我們稱為勒貝格測度

/ H* A; o$ w8 E, U5 M* q2 ~( M我來詳細(xì)解釋,，如何從1維勒貝格測度來形成2維勒貝格測度

定義集合A(0,1),，定義集合B(0,2)，（這里先取開集,，其實換成閉集是一樣的）,，也就是，A是0到1的線段,，B是0到2的線段,，記他們的勒貝格測度為L(A)=1，L(B)=2
8 e* N, u1 [- S% Z好,，現(xiàn)在我們作集合A和B的笛卡爾積AxB={(0,0),(0,2),(1,0),(1,2)},，有沒有發(fā)現(xiàn)什么？,？這是長方形的4個端點坐標(biāo),，長為1，寬度為2
然后,，關(guān)于勒貝格測度,，有一個定理，證明略麻煩,，想詳細(xì)了解的話,，請自行翻書吧，這里就不加證明的給出了：
5 q+ S9 r- d1 i1 F! L% R+ a% {! FL(AxB)=L(A)L(B)=1*2=2,，這恰恰是通過AB兩個集合作笛卡爾積獲得的長方形的面積,，所以，2維測度是面積,，是通過1維測度升級而來的,，依次可推算3維甚至抽象的更高維，都可以求得相應(yīng)測度
3 [" R$ i+ R+ ?- D) i  n  n" t

zerowing

crazypeanut 發(fā)表于 2014-7-9 10:25
* B" g* i& m; ^. z) U: x首先回答第一個問題,，可以在測度論的教科書上找到

數(shù)學(xué)上集合彼此不相交,，可以允許兩種情況，1是交集是 ...

1。呵呵,，大俠數(shù)學(xué)玩得挺好,。如果測度的相交定義不同于一般集合的相交定義，那么俺就可以接受和理解這個定義,。同樣的,，第二個問題也可能不是問題。
  y5 X0 A' A* }6 F2,。說說第三個問題,。首先來說，數(shù)學(xué)和物理學(xué)中,，是存在0維的,。而0維對應(yīng)的是點。這個不是俺亂說的,。
在 "Curious About Astronomy". 一文中提到了數(shù)學(xué)上的一個定義,，如下：
0 i2 |& n# v* G" L- e"The dimension of a manifold is the minimum integer number of co-ordinates necessary to identify each point in that manifold."
! Y4 K1 U5 o( y. `$ N, ~% F; Q% t翻譯過來就是：一個描述體的緯度就是用以描述該體的最小坐標(biāo)數(shù)的整數(shù)值。
因此來說,，描述一個點,，我們需要的最小坐標(biāo)數(shù)為0，所以,，點是0維的,。
當(dāng)然，這也可以解釋為什么點的測度為0,。（笑）
2 S6 e" |; L# l2 x$ O! t關(guān)于線段和點的關(guān)系,，俺認(rèn)為俺已經(jīng)解釋的很清楚了，也并不與大俠存在分歧,。所以,，如果你一定要強(qiáng)調(diào)的話，俺有些不解,。哈哈,。
至于說到笛卡爾積的問題。我想大俠應(yīng)該是誤解我的問題了,。
' ]4 D7 Q; ^: B我在描述的時候,，描述的是笛卡爾積的本質(zhì)問題，也就是兩個集合求積,，實際上就是求兩個集合中各元素的積,，將得到的所有結(jié)果形成一個新的集合。這個描述是沒有問題的,。而這個描述并不否定你可以按照邊界法計算,�,；蛘邠Q句話說，對于任意一個可知的確切元素,，你都可以求積,。你也可以通過邊界求積法得到一個新的范圍。這都不是我要問的問題,。我的問題是你如何確定這個計算可運(yùn)算性。當(dāng)然,，這也涉及到我很P大爭論范疇,，無限小數(shù)的四則運(yùn)算性。呵呵,，至今無果,。比如說，兩個集合A,B,。A=[a,b],，B=[c,d]。而a,b,c,d均為無限不循環(huán)小數(shù),，且不能用類似pi,e,，等形式表示，那么你該如何計算這樣的兩個集合的積,。這就是問題,。當(dāng)然，我不確定這樣的無限小數(shù)是否存在,，比如這樣的一個小數(shù),0.1121112111121111112......
至少來說,，通過跟P大的討論，對于有理數(shù)范疇的無限小數(shù),，無論是可直接四則也好,，還是間接四則也好，其可運(yùn)算,。但對于無理數(shù)范疇,，就撲朔迷離了。那么,，對于這樣的情況,，其笛卡爾積是什么？
于是,，再回到那個維度的問題上,。
前面我已經(jīng)給出了關(guān)于維度數(shù)的定義，說明了點是0維的,。那么從點到線或者說從0維到1維的積又是什么,？或者說，如何從0到1？或者說,，如果不存在從0到1,， 那么離散論又該如何解釋？最接近的一個例子就是粒子的散射范圍問題,。每一次經(jīng)過原子核的粒子都會形成一個隨機(jī)的新路徑打到接收面上,，換句話說，不存在連續(xù)性,，但最終形成的是一個面,。再有的例子就是概率。比如一個正態(tài)函數(shù),，其描述的也是一個離散的成型例子,。

crazypeanut

打錯，占樓編輯掉

crazypeanut

zerowing 發(fā)表于 2014-7-9 13:58
1,。呵呵,，大俠數(shù)學(xué)玩得挺好。如果測度的相交定義不同于一般集合的相交定義,，那么俺就可以接受和理解這個定 ...

6 Y0 o+ N9 p' m

0維,，數(shù)學(xué)上是很麻煩的東西啦，在集合論上對應(yīng)的是空集,，而空集和空集自身求笛卡爾積,，數(shù)學(xué)上是沒意義的，所以一般都是避開討論0維,。（逃避主義,，笑） . r# U$ C/ `' @ 其實數(shù)學(xué)上有很多逃避主義（繼續(xù)笑，真的很多）,，比如有個概念叫做幾乎處處(almost everywhere),，他是說，若一個命題被稱為幾乎處處成立的,，如果把這個命題不能成立的點全部抽出來,，構(gòu)成一個集合，而這個集合的測度是0,。這個概念的想法是,，測度為0的集合對一個命題整體沒有任何貢獻(xiàn)，所以我們可以把那些不能成立的點逐個挖出來去掉不考慮,。（鴕鳥政策,，當(dāng)初我學(xué)到這個概念時候笑了老半天） ) t) m9 u( I5 w+ p9 p4 H6 T  x& Y 舉個例子吧，黎曼積分（我們大學(xué)里學(xué)的最普通的定積分,，就是黎曼積分）,，一個函數(shù)是黎曼積分可積的,，則其充要條件為該函數(shù)在其定義域上是幾乎處處連續(xù)的。再舉個例子,，級數(shù)有種收斂形式叫做幾乎處處收斂,，相比你知道這是怎么回事了。（幾乎處處這個概念真的很好笑） # }( n& V* ]2 @$ P; J7 D & f2 q) y5 ~3 w& r接著來談?wù)劦芽�爾積的可計算性 % \6 O- b8 |9 [6 J3 ~ 先說可數(shù)集,，可數(shù)集的元素可以一個一個抽出來逐個排列,，2個可數(shù)集求笛卡爾積容易理解，很直觀,，就不多說了 關(guān)鍵在于,，2個不可數(shù)集，就是連續(xù)統(tǒng),，求笛卡爾積，老實說,，這個運(yùn)算,，在數(shù)學(xué)上是有爭議的。 之前說過,，不可將連續(xù)統(tǒng)視為由單點構(gòu)成,，但是笛卡爾積，卻要求逐個點抽出構(gòu)成有序?qū)�,，這不是矛盾嘛,？？解決辦法就是,，選擇公理,，而選擇公理，在數(shù)學(xué)上存在爭議,。于是乎,，數(shù)學(xué)就是這么個麻煩的東西，最簡單的笛卡爾積運(yùn)算,，都有爭議,，所以，不是狂熱者,，別取深究了,。 0 Y4 s! W8 @7 Q 3 a/ ~' E; N* @$ Z* ?  V. [關(guān)于無窮小數(shù)的問題，其實是這么回事,，首先可以嚴(yán)格證明,，無理數(shù)的存在性；其次,，數(shù)學(xué)上有很多這樣的情況,，一個東西存在,，卻沒有有效的表示手段，比如大量的特殊函數(shù),，都無法用我們熟知的式子寫出其表達(dá)式,，只能規(guī)定一個符號，告知這個符號就是這個函數(shù),；無理數(shù)是同樣情況,，因為無理數(shù)，要將其完完全全的表達(dá)出來,，不存在這樣的東西,，所以，只能用小數(shù)去逼近,，所以,，無理數(shù)求積運(yùn)算，我們也只能用小數(shù)來近似表示,。 最后要糾正你兩個錯誤 - X, f6 N# C3 _" `1 O+ n5 D2 \1是粒子散射問題,，忽略粒子波粒二象性的話，最后得到的點集,，他是有理數(shù)集,，而有理數(shù)集是可數(shù)集，測度為0,，其對整個平面的貢獻(xiàn)可以忽略,，不可將其視為一個平面。雖說你直觀上認(rèn)為點集布滿了平面,，但是從數(shù)學(xué)上講,，其實平面上有很多縫隙，這些縫隙構(gòu)成了無理數(shù)集,，而無理數(shù)集是不可數(shù)集,，其集合中的點的“數(shù)目”要比有理數(shù)集的點多的多。 4 I  h( O, A! l# ]9 h& P9 l( U: {: X2就是正態(tài)分布,，他是連續(xù)型隨機(jī)分布,，其樣本空間是定義在一個不可數(shù)集，也就是連續(xù)統(tǒng)上的,，數(shù)學(xué)上不研究其離散性質(zhì),，因?qū)�連續(xù)統(tǒng)來說單點測度為0，故對于連續(xù)型隨機(jī)分布,，取單點的概率永遠(yuǎn)為0,，沒有研究的價值。

0 F3 s$ c" C* P& {

zerowing

呵呵,，感謝大俠如此大量文字的回復(fù),。
其實說道逃避主義或者鴕鳥主義,，只要是以數(shù)學(xué)為基出的學(xué)科都存在這樣的問題。理論物理學(xué)中也遍地都是,。對不能滿足其歸納的,，就干脆排出掉。也算是一種果斷的手法吧,。相比之下,，哲學(xué)和試驗物理學(xué)就是反面。所以,，歐洲的那幫子瘋子們才撞出了一大堆亞粒子,，裝出一個質(zhì)量場論出來。
數(shù)學(xué)上的爭議,，說實話有時看著就像小孩吵架,，窮折騰。但是吵吧,，當(dāng)樂子了解好了,。真去叫真，就真的什么都干不了了,。
關(guān)于粒子散射問題，只用這種空隙論怕是不能解釋,。換句話說,，數(shù)學(xué)上可以說我去掉端點點，測度不變,。換句話說邊界點是有限可數(shù)的,。（其實這里很想問，一個正方形的邊界是連續(xù)統(tǒng)笛卡爾積得到的,，道理上說,，如果低維的端點如果可以做為了0測度拿掉，那么最后得到的高維的正方形邊沿究竟是一個連續(xù)統(tǒng)還是可數(shù)集,？如果說是可數(shù)集,，但畢竟事實上他也是線段，這不就又矛盾了,？如果是連續(xù)統(tǒng),，那么(1,2)*(2，3)得到的應(yīng)該是(2,6)還是[2,6],？）我們先不說這個,，還是先說粒子散射。如果我們認(rèn)為粒子散射的邊界是一個可數(shù)集,，那么所有解釋都可以說得通,，因為邊界以內(nèi)和邊界以外不連續(xù),，或者說不相交。但如果邊界是不可數(shù)集,，那就代表著粒子不能完全覆蓋邊界,，間隙同外側(cè)相連，就成了相交或連續(xù),。換句話說,，邊界就模糊了。,。,。。,。
$ y: o8 _0 g  p% H我得說,，我頭大了。

zdd5254

樓主見解獨特
* ~/ \: c1 I2 a+ [/ {1 f  [1 ?

Pascal

crazypeanut大俠,，首先謝謝你專業(yè)的講解,。
我的問題---為什么不能認(rèn)為線段是由點構(gòu)成的呢？這樣認(rèn)為有什么不好么,？
比如說拿一把刀去砍一個線段,，姑且把這把刀叫做戴德金刀，刀每次都會砍中一點,，也只能砍中一點,。所以我認(rèn)為線段是由點構(gòu)成的。
你看看哪里不對,？
3 T: S* D% h: h9 e9 L3 n

crazypeanut

Pascal 發(fā)表于 2014-7-10 21:50
crazypeanut大俠,，首先謝謝你專業(yè)的講解。
我的問題---為什么不能認(rèn)為線段是由點構(gòu)成的呢,？這樣認(rèn)為有什么 ...

1 M/ A* H) c1 D% O這樣會形成靜矢不動的悖論,，將點和線段嚴(yán)格區(qū)分開來是數(shù)學(xué)上回避悖論的一種有效手段