公理——數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

掃街

在傳統(tǒng)邏輯中,，公理是沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明,，但被當(dāng)作不證自明的一個(gè)命題,。因此,，其真實(shí)性被視為是理所當(dāng)然的,，且被當(dāng)做演繹及推論其他（理論相關(guān)）事實(shí)的起點(diǎn),。當(dāng)不斷要求證明時(shí),，因果關(guān)系畢竟不能無(wú)限地追溯，而需停止于無(wú)需證明的公理,。通常公理都很簡(jiǎn)單,，且符合直覺(jué)，如“a+b=b+a”,。
不同的系統(tǒng),，會(huì)預(yù)計(jì)不同的公理。例如非歐幾何的公理,，和歐氏幾何的公理就有一點(diǎn)不同,。比如說(shuō)我們看歐式幾何。在幾個(gè)簡(jiǎn)單的公理假設(shè)下,，我們可以得到一系列的結(jié)論,，很多是深刻的，甚至是反直覺(jué)的,。在建立這個(gè)模型之后,，一個(gè)重要的問(wèn)題就是我們需要幾個(gè)公理來(lái)建立這個(gè)模型。比如歐式幾何的每個(gè)公設(shè)是可以由其他公理得出的一個(gè)定理/結(jié)論,？還是必須也是一個(gè)公理,？
4 O; }0 Q' |- N6 D! Q3 E比如歐式幾何里“過(guò)給定直線外一點(diǎn),，有且僅有一條直線與之平行”在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)是不清楚它的位置的，后來(lái)發(fā)現(xiàn)對(duì)于歐式幾何,，你可以認(rèn)為是這個(gè)體系的“公理”,，只有認(rèn)定它，才有后來(lái)的美妙結(jié)論,。
沒(méi)有它呢,？那時(shí)你就進(jìn)入了另一個(gè)模型，你會(huì)得到其他的美妙結(jié)論：）
4 Q: M8 _3 W% n7 H5 R4 q3 O: D所以,，在不同的公理假設(shè)下,，我們得到了不同的數(shù)學(xué)體系，以此為基礎(chǔ),，我們就可以得到對(duì)現(xiàn)實(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)本身的各種模型,。這種公理化的一個(gè)好處是，當(dāng)你覺(jué)得現(xiàn)在的數(shù)學(xué)模型并不適合現(xiàn)實(shí),，或者并不滿足理論發(fā)展需要時(shí),，有可能只是你假設(shè)了太多的公理前提，換一套公理,，換一套前提,，你就能得到很不一樣的數(shù)學(xué)體系，原本的困難可能就很容易解決了,。
) S3 R3 S& L# A不證自明性是公理的特點(diǎn),，這也是為什么數(shù)學(xué)家質(zhì)疑歐幾里得的第五公設(shè)——平行公理的原因，平行公理看起來(lái)并不象其他幾條公理一樣明白了當(dāng)（比如第一條公設(shè)：任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)一條直線連接）,，而非歐幾何的建立,，也正說(shuō)明了第五公設(shè)的不必要性。
從一方面說(shuō),，公理也可以看作是對(duì)于一些一般經(jīng)驗(yàn)的總結(jié),，這些總結(jié)是無(wú)可爭(zhēng)議的正確的，還用第一公設(shè)說(shuō),，“任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過(guò)一條直線連接”不管這直線如何定義,，總之兩點(diǎn)之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？）,，這既符合直覺(jué),，也是簡(jiǎn)單明確的事實(shí)。
從數(shù)學(xué)邏輯的角度,，要證明一個(gè)定理就要證明導(dǎo)出這個(gè)定理的定理,，進(jìn)而要證明導(dǎo)出導(dǎo)出這個(gè)定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個(gè)定理串,，如果這個(gè)過(guò)程無(wú)限回溯顯然是不可接受的,，必須要有一些“東西”作為這個(gè)定理串的源頭，回溯的過(guò)程終止與這個(gè)源頭,，這個(gè)源頭我們就說(shuō)它是“公理”,，當(dāng)然如果這個(gè)源頭與某條已知公理違背，則這一串就都是假命題了,。
% M5 d6 D* E6 g  S+ y扯遠(yuǎn)了,，回到公理上來(lái)，形式主義數(shù)學(xué)家如希爾伯特,，就通過(guò)建立形式化公理體系,，把數(shù)學(xué)帶到了一個(gè)更加嚴(yán)密的世界中來(lái)了。每一套公理體系中的公理,，必須互相獨(dú)立,，且相容，否則就有矛盾了,。所以一個(gè)公理背后是一套公理體系,，這樣就構(gòu)成了一套數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。
) m. y$ F" V( ]* i( }( r: C數(shù)學(xué)的圖景也沒(méi)有那么統(tǒng)一的,，一套非偶的公理體系,，就一個(gè)非偶幾何空間（當(dāng)然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學(xué)統(tǒng)一了.....可不可以不要這么強(qiáng)大嘛~~）；一個(gè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè),，分出兩個(gè)數(shù)學(xué)的世界,，
. @' t, r) b1 Q) H( V總之公理，公理體系,，就是數(shù)學(xué)的的底樁,。

點(diǎn)評(píng)：
那問(wèn)題就來(lái)了，三角形的內(nèi)角和為什么是180度

6 R. P. w% \6 a$ e# d, M/ ]* N% k! ~

鬼魅道長(zhǎng)

倒時(shí)差中，無(wú)聊ing
證明：任意三角形內(nèi)角和為180°
) [3 k( I: y+ g) G0 E證：設(shè)三角形三端點(diǎn)為A,B,C,，其對(duì)應(yīng)邊為a,，b，c
8 X' T: ]2 L7 H1 r# m8 E       通過(guò)A點(diǎn)做一條直線l,，使 l 與邊 a 平行
      由平行線定律可知,，角BCA與角CAl 相等，角CBA與角BAl 相等
      由圖中可知,，角CAl+角BAl+角CAB組成直線l
/ t, B# j$ |! [& A0 r: d- u. [      由公理：直線夾角180°,，
# T& h" K: ^& A      可知任意三角形內(nèi)角和180°
證完

, s, E6 p% l% |l 是雙向的，所以其實(shí)這個(gè)證明不完整,，懶得再畫圖了,，就這樣吧。
2 M  W" {6 `( o8 E/ B% j今兒個(gè)我真閑,，哈,。

米fans

大蝦好功力

探索號(hào)QM

建議大家參考維基百科---球面三角學(xué).
+ c" S0 v% M/ e3 Q/ R% J4 Whttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8

pain

三角形的內(nèi)角和是180度 是定理而不是公理,。
這個(gè)不用解釋。

Pascal

還有基本概念也是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),。
就拿咱們熟悉的歐氏幾何為例,，在定義、公理的基礎(chǔ)上,，才能推出后面的命題,。
定義就是概念。

lglabc2008

學(xué)習(xí)了

三八大蓋

我怎么記得上中學(xué)的時(shí)候老師給過(guò)證明

405452975

學(xué)習(xí)�,�,！

樂(lè)小白

這個(gè)問(wèn)題畫個(gè)圖出來(lái)看很明顯就能證明，前提是認(rèn)可平行線定理,，當(dāng)然也可以先求證平形線定理,。
1 ^. P, r7 z  K" B看到樓主的問(wèn)題讓我想起來(lái)高中時(shí)候的一個(gè)問(wèn)題：1/3=0.33333…………無(wú)限循環(huán)根據(jù)等式定理兩邊同乘以3得出的是3/3=0.99999999……無(wú)限循環(huán)，那么問(wèn)題來(lái)了：1=0.99999……無(wú)限循環(huán)是怎么解釋的,？,！