公理——數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)

掃街

在傳統(tǒng)邏輯中,，公理是沒有經(jīng)過證明,，但被當(dāng)作不證自明的一個(gè)命題,。因此,，其真實(shí)性被視為是理所當(dāng)然的,，且被當(dāng)做演繹及推論其他（理論相關(guān)）事實(shí)的起點(diǎn),。當(dāng)不斷要求證明時(shí),，因果關(guān)系畢竟不能無限地追溯，而需停止于無需證明的公理,。通常公理都很簡(jiǎn)單,，且符合直覺，如“a+b=b+a”,。
不同的系統(tǒng),，會(huì)預(yù)計(jì)不同的公理。例如非歐幾何的公理,，和歐氏幾何的公理就有一點(diǎn)不同,。比如說我們看歐式幾何。在幾個(gè)簡(jiǎn)單的公理假設(shè)下,，我們可以得到一系列的結(jié)論,，很多是深刻的，甚至是反直覺的,。在建立這個(gè)模型之后,，一個(gè)重要的問題就是我們需要幾個(gè)公理來建立這個(gè)模型。比如歐式幾何的每個(gè)公設(shè)是可以由其他公理得出的一個(gè)定理/結(jié)論,？還是必須也是一個(gè)公理,？
( B" }+ i: j" v+ w& y# V比如歐式幾何里“過給定直線外一點(diǎn)，有且僅有一條直線與之平行”在很長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)是不清楚它的位置的,，后來發(fā)現(xiàn)對(duì)于歐式幾何,，你可以認(rèn)為是這個(gè)體系的“公理”,，只有認(rèn)定它，才有后來的美妙結(jié)論,。
沒有它呢,？那時(shí)你就進(jìn)入了另一個(gè)模型，你會(huì)得到其他的美妙結(jié)論：）
3 a7 d# i" W& D& ^% S* ]所以,，在不同的公理假設(shè)下,，我們得到了不同的數(shù)學(xué)體系，以此為基礎(chǔ),，我們就可以得到對(duì)現(xiàn)實(shí)和對(duì)數(shù)學(xué)本身的各種模型,。這種公理化的一個(gè)好處是，當(dāng)你覺得現(xiàn)在的數(shù)學(xué)模型并不適合現(xiàn)實(shí),，或者并不滿足理論發(fā)展需要時(shí),，有可能只是你假設(shè)了太多的公理前提，換一套公理,，換一套前提,，你就能得到很不一樣的數(shù)學(xué)體系，原本的困難可能就很容易解決了,。
不證自明性是公理的特點(diǎn),，這也是為什么數(shù)學(xué)家質(zhì)疑歐幾里得的第五公設(shè)——平行公理的原因，平行公理看起來并不象其他幾條公理一樣明白了當(dāng)（比如第一條公設(shè)：任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過一條直線連接）,，而非歐幾何的建立,，也正說明了第五公設(shè)的不必要性。
3 H# R/ r: T, ]( C6 W從一方面說,，公理也可以看作是對(duì)于一些一般經(jīng)驗(yàn)的總結(jié),，這些總結(jié)是無可爭(zhēng)議的正確的，還用第一公設(shè)說,，“任意兩個(gè)點(diǎn)可以通過一條直線連接”不管這直線如何定義,，總之兩點(diǎn)之間可以連出一條線（天知道在哪一維空間里就是一條直線叻？）,，這既符合直覺,，也是簡(jiǎn)單明確的事實(shí)。
從數(shù)學(xué)邏輯的角度,，要證明一個(gè)定理就要證明導(dǎo)出這個(gè)定理的定理,，進(jìn)而要證明導(dǎo)出導(dǎo)出這個(gè)定理的定理的定理.......這樣一直往回走，我們需要證明一個(gè)定理串,，如果這個(gè)過程無限回溯顯然是不可接受的,，必須要有一些“東西”作為這個(gè)定理串的源頭，回溯的過程終止與這個(gè)源頭,，這個(gè)源頭我們就說它是“公理”,，當(dāng)然如果這個(gè)源頭與某條已知公理違背,，則這一串就都是假命題了。
6 A2 [& j% X2 B' m/ x9 H6 S9 D: o扯遠(yuǎn)了,，回到公理上來,，形式主義數(shù)學(xué)家如希爾伯特，就通過建立形式化公理體系,，把數(shù)學(xué)帶到了一個(gè)更加嚴(yán)密的世界中來了,。每一套公理體系中的公理，必須互相獨(dú)立,，且相容,，否則就有矛盾了。所以一個(gè)公理背后是一套公理體系,，這樣就構(gòu)成了一套數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),。
% @, s1 E1 j4 G6 p數(shù)學(xué)的圖景也沒有那么統(tǒng)一的,，一套非偶的公理體系,，就一個(gè)非偶幾何空間（當(dāng)然希爾伯特老先生的幾何公理體系吧幾何學(xué)統(tǒng)一了.....可不可以不要這么強(qiáng)大嘛~~）；一個(gè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè),，分出兩個(gè)數(shù)學(xué)的世界,，
+ u  ^, s" d( d  _  F總之公理，公理體系,，就是數(shù)學(xué)的的底樁,。
+ A# C% E0 m/ a  ]5 G
點(diǎn)評(píng)：
* M1 O. F( l3 l3 C那問題就來了，三角形的內(nèi)角和為什么是180度

鬼魅道長(zhǎng)

倒時(shí)差中,，無聊ing
證明：任意三角形內(nèi)角和為180°
證：設(shè)三角形三端點(diǎn)為A,B,C,，其對(duì)應(yīng)邊為a,，b，c
       通過A點(diǎn)做一條直線l,，使 l 與邊 a 平行
( t/ p5 z5 c7 S. M, e- W  }      由平行線定律可知,，角BCA與角CAl 相等，角CBA與角BAl 相等
      由圖中可知,，角CAl+角BAl+角CAB組成直線l
      由公理：直線夾角180°,，
6 ?8 b4 d2 k1 p: S      可知任意三角形內(nèi)角和180°
證完
& P8 x6 y+ N- c) {1 Q2 J  J9 D
" c1 }7 J% W4 G& rl 是雙向的，所以其實(shí)這個(gè)證明不完整,，懶得再畫圖了,，就這樣吧。
3 \9 e- l/ J, B8 f& v6 |今兒個(gè)我真閑,，哈,。

米fans

大蝦好功力

探索號(hào)QM

建議大家參考維基百科---球面三角學(xué).
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8

pain

三角形的內(nèi)角和是180度 是定理而不是公理,。
這個(gè)不用解釋。

Pascal

還有基本概念也是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),。
就拿咱們熟悉的歐氏幾何為例,，在定義、公理的基礎(chǔ)上,，才能推出后面的命題,。
定義就是概念。

lglabc2008

學(xué)習(xí)了

三八大蓋

我怎么記得上中學(xué)的時(shí)候老師給過證明

405452975

學(xué)習(xí)�,�,！

樂小白

這個(gè)問題畫個(gè)圖出來看很明顯就能證明，前提是認(rèn)可平行線定理,，當(dāng)然也可以先求證平形線定理,。
9 \+ ^. `' Y' I看到樓主的問題讓我想起來高中時(shí)候的一個(gè)問題：1/3=0.33333…………無限循環(huán)根據(jù)等式定理兩邊同乘以3得出的是3/3=0.99999999……無限循環(huán)，那么問題來了：1=0.99999……無限循環(huán)是怎么解釋的,？,！