請教一四點支撐平臺各支點承重量計算的問題

easylife

如下面的俯視圖，

$ r' \: h5 U- c9 p平臺為一剛性水平臺,，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐,。工作臺重心為圖中W點,。總質(zhì)量為W.
0 Y1 o5 |* g7 [  }( ?幾何尺寸如圖中所示.
請問怎樣計算各個支撐件P1,P2,P3,P4的受力大�,�,？
+ X) s; D6 W+ w" ^8 n" w( c

李贛

1,、受力
2、力矩
3 S, ?- d; B' A; w7 q: y7 o平衡

easylife

1,、受力
: Y) o# z: ^0 P4 R0 S3 Q# g2,、力矩
平衡
lit_hiker 發(fā)表于 2009-9-28 15:51

. B* q# m1 W6 P! D2 x不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細講下么？
謝謝

小白菜

可以先把同一側(cè)的兩點當成一點,，算出來后再把合成一點的兩點的力再算一次,，高中的同向平行力。

李贛

把旋轉(zhuǎn)軸設(shè)定在兩個支點上,，這兩點的力的力臂為零,。

草原蒙狼

樓主需要補補課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚不如授人與漁

請看下面  力學教材
. i/ X; c$ _% Y+ h- v' ^- M: }7 |
2.1 平面匯交力系
9 g/ l' e0 a. r' ^9 |$ Q2 ?' L6 _
平面匯交力系的工程實例：



2.1.1 力的分解
* n  F' i# f2 [. S! ^, T
按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力,，可以合成為一個合力,，解是唯一的；

但反過來,，要將一個已知力分解為兩個力,，如無足夠的條件限制，其解將是不定的,。
) k0 `/ ?9 X9 R( j
3 R% P( |: }1 N1 J; p2.1.2 力在坐標軸上的投影

! T9 {2 `7 Q* j1 U" Q( N0 |, {0 a
3 n: d$ N, a( P- ^

注意:力的投影是代數(shù)量,，它的正負規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值,；反之，取負值,。
9 r, {! F4 R, ^  H+ k
' d3 S& Z! N4 `

2.1.3合力投影定理

- U* D$ }% V/ S! K8 X# G! m/ d* V
  e3 v( H' M9 J0 d1 y7 z  t

2 L, Q: b" V- h- v8 k. J
8 ~; _" Q( h2 R
/ h. N* V0 s1 T" |  \6 o
) {4 N7 b3 u5 f9 L

2 }; E3 `% p4 Z% L: Q合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和,。

1 S) T+ o2 y: [) Q2.1.4 平面匯交力系的平衡條件

平面匯交力系可以合成為一個合力，即平面匯交力系可用其合力來代替,。顯然,，如果合力等于零，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài),。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零,。即

: z' |& }2 V4 g) U' X
2 H' Q2 p# q# w
即
, z9 O( J. u( b2 e$ i2 j
* }, r0 y" R) t! R5 i/ g1 D

! R" _% ^/ Q0 v5 M* G3 V$ X% H' w* m
力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零。這是兩個獨立的方程,，可以求解兩個未知量,。

6 z5 m& e2 A) l1 G  d5 o例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N,，水平向左,；F2=5000N，與水平成30度角,；F3=3000N,，鉛直向下，試求合力大小,。（僅是求合力大�,。�
3 R2 G' B4 {8 U  B) h
+ c( G4 O( ?4 j$ w

例2-2 圖示為一簡易起重機裝置，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A,，繞在絞車D的鼓輪上,，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小,，大小可忽略不計,，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計,，各處接觸都為光滑,。試求當重物被勻速提升時，桿AB,、AC所受的力,。
2 b# s. x2 l$ T8 e( o2 z


/ ]$ c$ o2 {' a, a解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸,，所以桿AB,、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此,，取滑輪為研究對象,，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有

( _: u7 a  ]8 e- X4 d5 _
/ D. ]/ e# j- w5 j8 T
7 Q6 ?% E8 A9 X4 K; M2 e* O2 _解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：

1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）,、未知力有直接關(guān)系,，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
4 e7 U7 U. p# K9 M
2.畫受力圖 根據(jù)研究對象所受外部載荷,、約束及其性質(zhì),，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。

- a2 a0 F5 Y. {& t3.建立坐標系,，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時,，最好有一軸與一個未知力垂直。
$ _9 y5 [9 P. i2 J! f+ ]
在根據(jù)平衡條件列平衡方程時,，要注意各力投影的正負號,。如果計算結(jié)果中出現(xiàn)負號時，說明原假設(shè)方向與實際受力方向相反,。
% m; F( J3 P$ d+ d5 e
2.2 力矩與平面力偶系
: [/ s0 }. S* _- I; M4 ]4 W7 j
2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

( G8 V* L3 T5 Z0 R+ l1 V- `& ]1.力對點之矩的概念
& r" f& `& _0 p9 c2 E0 m# z" J% o1 J
為了描述力對剛體運動的轉(zhuǎn)動效應,，引入力對點之矩的概念。


* [( ?" ]- ^* @+ N, M" s# O
1 v. |# v% C1 j9 s/ w$ g力對點之矩用Mo（F）來表示,，即 Mo(F) = ± Fd

一般地,，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點O——矩心,，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂,。
8 ]8 A# [6 D2 |9 ~" L$ ?


Mo( F ) = ± 2△OAB

力對點之矩是一代數(shù)量,，式中的正負號用來表明力矩的轉(zhuǎn)動方向。

矩心不同,，力矩不同,。

規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力矩取正號,；反之,，取負號。

力矩的單位是Nmm,。

由力矩的定義可知：

. S" g1 B( y3 N% B9 R（1）若將力F沿其作用線移動,，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變,，所以不會改變該力對某一矩心的力矩,。

) k& R  h5 e$ S( R; E! E$ S) w（2）若F=0，則Mo(F) = 0,；若Mo(F) = 0,，F(xiàn)≠0，則d=0,，即力F通過O點,。

力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
9 @9 G4 u) b7 Y8 C2 ?) C
3 ]0 t$ y7 Q2 Y' N3 b2.合力矩定理
6 Z9 J0 h  R7 ~: r' V6 P, w
1 w) U+ G% e# }! N2 c設(shè)在物體上A點作用有平面匯交力系F1,、F2,、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得,。


* M" I' h! \; @3 k1 O
" H4 ^5 L9 B6 k  w; z: a7 X- x, O) C( e計算力系中各力對平面內(nèi)任一點O的矩，令OA=l,，則

Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

Mo(F2)=F2yl

Mo(Fn)=Fnyl
# \1 S2 R6 U( }+ v+ h6 s
* d4 z( x2 P$ B6 C5 j1 x由上圖可以看出,，合力F對O點的矩為

/ M4 ~  S2 }; ~% y) N1 bMo(F)=Fd=Flsina=Fyl

據(jù)合力投影定理，有
0 C. f! Q- A. @; r- G
Fy=F1y+F2y+---+Fny
2 B" n+ a4 \2 Q3 [3 p2 t1 a
! f3 S! D5 P6 c1 \Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl

即

Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)


' @; F  I& M2 x) F8 U. m
* p. ]7 s+ }8 e) `  T合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩,，等于其所有分力對同一點的力矩的代數(shù)和,。

  {+ ]* w' [+ J* Z/ ]- I% N3.力對點之矩的求法(力矩的求法)

（1）用力矩的定義式，即用力和力臂的乘積求力矩,。
* T- |0 ?, J5 ?% P% x
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離,，即力臂必須垂直于力的作用線。?
. U" L1 {$ k/ T5 [; D6 i
* Z- x: Z# I( Q; E（2）運用合力矩定理求力矩,。力分解

& r7 G- }+ N6 ~/ I: {例2-3 如圖所示,，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束，力F作用于C點,，其方向角為 α ,，又知OB= l ，BC= h ，求力F對O點的力矩,。

) H. r6 c# m) b, \4 N2 ]
4 s- |. b  J% o( C
解 （1）利用力矩的定義進行求解
8 Y) V6 D5 p! k
' o# T9 b+ f5 k( O
9 ^& _# ]- t; z, K, l
$ D2 `# @/ Z5 t9 n7 [4 f如圖,，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa ,。再過B點作力作用線的平行線,，與力臂的延長線交于b點，則有
+ x8 n' |9 ^6 j" V, K0 ~

( u8 f$ s" Y* g% I0 k
（2）利用合力矩定理求解
7 j7 n: q1 u& e8 e- k& _
將力F分解成一對正交的分力
2 O5 v! d0 j6 ?) l" w+ D
* g8 M  s- s$ R  ^; R2 Z

7 q$ F. V5 c! T- R3 s力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數(shù),。即
* e& g  g4 E# S" W0 ^. h1 E7 ~
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
( x/ _  _' ~  R4 c# D; T: R
' r: w4 Y- |' C: \6 e  s2.2.2力偶及其性質(zhì)
, J& [3 w; m6 ?3 P3 b8 N  h
1.力偶的定義
7 b: k- h  Z9 t* Y4 h& J* S5 @
在工程實踐中常見物體受兩個大小相等,、方向相反、作用線相互平行的力的作用,，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動,。例如，用手擰水龍頭,、轉(zhuǎn)動方向盤等,。
' t! x' P% ~+ i5 y+ ^% k% B
& X+ K" O; P- U. z, g! d# I

/ u% A- U) w  d8 n5 U8 b  P力偶——大小相等、方向相反,、作用線相互平行的兩力,，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F,，F(xiàn)')

力偶作用面——兩個力所在的平面

力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d

: t4 v' K2 z1 ~6 P+ M+ H; J6 `/ P力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動的方向
- e. H) b9 g  j+ |3 H  P. _
8 X$ o. A* n2 D9 x0 M力偶只能使物體轉(zhuǎn)動或改變轉(zhuǎn)動狀態(tài),。怎樣度量？
0 K; _* L+ z2 s
+ C. L3 [6 V9 y- K力使物體轉(zhuǎn)動的效應,，用力對點的矩度量,。

設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)'),，該力偶對任一點O的矩為
8 u+ _; n8 A5 b2 a2 j

0 u; |1 m  C6 E- E& J
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
$ X! a- j: C/ C& f
7 h- ]- U- o$ w' i5 z* Z由于點O是任意選取的,，故力偶對作用面內(nèi)任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關(guān)）

* N" K" G+ w# \; G  \) s3 Y力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
! z9 `# u  ^' ?
M(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時針轉(zhuǎn)向時,，力偶矩為正,，反之為負。

力偶矩的單位是Nmm,。 力偶同力矩一樣,，是一代數(shù)量。
5 O" h# p$ A+ R( I: g9 m, u, @) a
Mo(F) = ± Fd

力偶的三要素——大小,、轉(zhuǎn)向和作用平面

4 ^" |) T, @$ Z! q' Y2 `) ?( }2.力偶的性質(zhì)

（1）力偶無合力,。
; t) I& D; U! B$ Z3 H' \
力偶不能用一個力來等效，也不能用一個力來平衡,。
, g# x$ Y1 N1 B$ A, V
" U7 ^$ z, x* c8 H  ?. c4 J5 N% A可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量,。
! O# C1 S" E6 w2 ^' K! i7 G1 ?! c9 i
（2）力偶對其作用平面內(nèi)任一點的力矩,，恒等于其力偶矩。
8 M" `3 @, q* |
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶,，若它們的力偶矩大小相等,、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶是等效的,。

: T5 b: n5 F/ g* Y7 L' j  B力偶的等效條件：

. h3 ]. z% B! r3 A1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的作用,。即力偶對物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。

2）只要保持力偶矩不變,，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短,，而不會改變力偶對物體的作用。
0 ^8 Y# G; C% H9 l& B' }
4 |: O. Z' M; w8 k2.2.3平面力偶系的合成與平衡
$ V. Y2 T/ T2 o  X# y* X: A! m, M
' f. ?4 D- `# F5 ]2 U$ K平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個力偶,。
- u0 R. [. g# Z
1.平面力偶系的合成

例 兩個力偶的合成
. i9 l! r1 M, v$ i( J0 m

4 v, D. J# T$ {; C$ ?7 ^8 NM=M1+M2+---+Mn


————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

6 ?. \$ K+ {$ r, x% _2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的結(jié)果為一個合力偶,，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零,，

/ L" O% E$ @, C0 t  P* H例2-4 梁AB 受一主動力偶作用,，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ,，梁的自重不計,，求兩支座的約束反力。
& b* A, H: Q9 O# U" h9 `+ o

/ g# o$ L/ {& y6 ^0 y2 U8 E
$ ?) W0 d- W6 ]# w解 （1）以梁為研究對象,，進行受力分析并畫出受力圖
! A  u+ A" @, ~  `. ]6 K
FA必須與FB大小相等,、方向相反、作用線平行,。

) j3 c9 x) o/ T  Y( _（2）列平衡方程
$ M$ _; e1 b+ z) X5 u6 k( W1 k/ r
: T9 l& d$ A! `; g# D  @   

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi),，既不相交于一點又不完全平行。



) p+ R6 i5 q8 m5 D上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
* Y4 j( O9 M. _9 g
2.3.1平面一般力系的簡化
/ E/ }% l0 y( O9 l. M  Y- Y
9 W5 e, }( z! q/ N. n" M9 u/ ~, x1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動,，而不改變其對剛體的作用效應,。
0 f0 S  f  j# w+ v8 m: ]' C4 W
問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？

' n# m! B5 t9 Y: o將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內(nèi)任意一點O,，
+ S) r* z6 X# h$ d9 r


附加力偶，其力偶矩為
, V' i( ]9 m7 L' r, v7 |
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示,，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩,。

于是，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下,，其作用效應就與力F作用在A點時等效,。
, q7 t' q4 e, r' o
6 H# |) }1 p9 ^力的平移定理——作用于剛體上的力，可平移到剛體上的任意一點,，但必須附加一力偶,，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩,。
8 z8 B7 |4 e4 E
! X! {: M5 e/ W" Q7 l4 M1 l根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個力和一個力偶,；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力,。
8 V7 m( e5 r7 Y- e. G, l

" g) _0 C2 Q, E3 b$ n8 D& d2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點的簡化
' X+ ~% F+ ]! h6 U8 ]: O
3 G4 C2 U$ A, N% W* f5 c6 B# U
) ]7 V( p. ]9 ^" y; `
7 R3 _5 Q0 c  B* B
α——主矢與x軸的夾角

9 }$ `, P& H; U% X9 |3 @. FMo——平面一般力系的主矩
$ B  O+ [" d0 L
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。

; M5 T6 @( k" m  f（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩,，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和,，作用在力系所在的平面上。）

  M( l1 q4 O* BMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
# X4 v  ^" L1 F" Y3 I' b
平面一般力系向平面內(nèi)一點簡化,，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo,，

! f# D- e- E2 r. |    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上,。其大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān),。
" O1 s6 s9 F7 Z& p  L: C$ m: }& v% o
8 Y7 M5 D% |0 }5 R7 W5 p8 }    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選擇有關(guān),。

* {' o6 r" s  Y0 ?* h% e3. 簡化結(jié)果分析
7 b  n& r! ?1 j5 V3 |) q5 U3 D) |
8 b+ u, @7 }+ V    平面一般力系向平面內(nèi)任一點簡化,，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結(jié)果,，如果進一步分析簡化結(jié)果,，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0
. x- i' X5 l2 n. m) d# c2 x
8 f! B9 C* [' \6 {' L0 y& @F'R=0, M o =0(力系平衡)
2 c1 X2 y+ {7 _) d& u
. Y5 V1 A: G6 D2.3.2 平面一般力系的平衡

; O6 N; ~# c5 {5 o1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
7 D& c" C- m( s1 \' r5 m! u
5 V, F; l' w8 F' j0 v$ P8 d
% _' }7 S  i; y
  
9 _+ k  P: |& F+ _2 D9 J! a3 u
/ G3 e% [6 D& P3 z* q4 m% Q2.平面平行力系的平衡條件
. V: \8 E9 [" f5 a4 b* H4 P1 Q9 o
平面平行力系的平衡方程為

2 k; _: u  d4 d5 e9 _0 M  a  t

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量,。

例2-6 塔式起重機的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示,。設(shè)機架重力 G =500kN ，重心在C點,，與右軌相距 a =1.5 m ,。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m ,。平衡物重力為 G 1 ,，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m ,。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍,。

# g. S  {; Y9 Q, L
. U; L+ t- r) F* o4 i, ~+ d. D
& w  c/ K5 q: P; K# N2 B  k: ^解：取起重機為研究對象。

! A$ ~& H6 }3 j8 t2 G$ o是一平面平行力系

/ ]$ U! T4 s& T3.物體系統(tǒng)的平衡條件

6 S. A( j# D5 z/ ~  d物系——由多個構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng),。

* H' R" z4 m- w9 C    若整個物系處于平衡時,，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時,，既可以以整個系統(tǒng)為研究對象,，也可以取單個構(gòu)件為研究對象。對于每一種選取的研究對象,，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程,。3n
$ K: S5 P2 O7 f2 q
物系外力——系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力
4 N, ?1 s3 ^. m. g
. N2 f, m& E( Q# f物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

物系的外力和內(nèi)力只是一個相對的概念,，它們之間沒有嚴格的區(qū)別。當研究整個系統(tǒng)平衡時,，由于其內(nèi)力總是成對出現(xiàn),、相互抵消，因此可以不予考慮,。當研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時,，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮,。

草原蒙狼

上面沒有高級回復,，所以不顯示圖形，請管理員刪除,�,？聪旅�

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實例：

2.1.1 力的分解
按照平行四邊形法則，兩個共作用點的力,，可以合成為一個合力,，解是唯一的；
6 K/ Y0 d# X7 I" ~3 R/ ^但反過來,，要將一個已知力分解為兩個力,，如無足夠的條件限制，其解將是不定的,。
2.1.2 力在坐標軸上的投影
+ q1 F  S* ~; C. B4 h- f
注意:力的投影是代數(shù)量,，它的正負規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時，則力F的投影Fx（或Fy）取正值,；反之,，取負值。
9 l7 e8 b- I2 Z9 B2 A& x1 D0 d
2.1.3合力投影定理
( H, o+ J6 ~2 L2 i! ]- K1 j5 H6 Y

, F- c4 J0 C0 D5 J$ S' R $ X! V7 `, ?0 ]/ D* ~

合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和,。
- M/ y" B: e. C  C5 X4 L: h( w2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
- |' O# U: ~% K! O平面匯交力系可以合成為一個合力,，即平面匯交力系可用其合力來代替。顯然,，如果合力等于零,，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零,。即

; T% ?6 \# a2 e' n+ z* R 即

力系中所有各力在兩個坐標軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零,。這是兩個獨立的方程，可以求解兩個未知量,。
& d- J+ I5 `$ s; h( [例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用。已知F1=2000N,，水平向左,；F2=5000N,，與水平成30度角；F3=3000N,，鉛直向下,，試求合力大小。（僅是求合力大�,。�
3 G, ~% e" ]6 P4 H  G5 u
例2-2 圖示為一簡易起重機裝置,，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A,，繞在絞車D的鼓輪上,，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小,，大小可忽略不計,，定滑輪、直桿以及鋼絲繩的重量不計,，各處接觸都為光滑,。試求當重物被勻速提升時，桿AB,、AC所受的力,。

解 因為桿AB、AC都與滑輪接觸,，所以桿AB,、AC上所受的力就可以通過其對滑輪的受力分析求出。因此,，取滑輪為研究對象,，作出它的受力圖并以其中心為原點建立直角坐標系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
8 h% a1 c8 F7 s& G
解靜力學平衡問題的一般方法和步驟：
1.選擇研究對象 所選研究對象應與已知力（或已求出的力）,、未知力有直接關(guān)系,，這樣才能應用平衡條件由已知條件求未知力；
- i' i& y9 _8 J, _* I# z2.畫受力圖 根據(jù)研究對象所受外部載荷,、約束及其性質(zhì),，對研究對象進行受力分析并得出它的受力圖。
3.建立坐標系,，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標系時,，最好有一軸與一個未知力垂直。
在根據(jù)平衡條件列平衡方程時,，要注意各力投影的正負號,。如果計算結(jié)果中出現(xiàn)負號時，說明原假設(shè)方向與實際受力方向相反,。

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對點之矩?(簡稱為力矩)

1.力對點之矩的概念

為了描述力對剛體運動的轉(zhuǎn)動效應,，引入力對點之矩的概念,。

" ^/ T7 \2 ]6 |2 Q力對點之矩用Mo（F）來表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地,，設(shè)平面上作用一力F,，在平面內(nèi)任取一點O——矩心，O點到力作用線的垂直距離d稱為力臂,。
9 s% r5 |% e7 O, s; ^( b, |+ @
0 F9 J; }+ p# \, q5 }9 lMo( F ) = ± 2△OAB
力對點之矩是一代數(shù)量,，式中的正負號用來表明力矩的轉(zhuǎn)動方向。
+ [  E; ]! s- w) {( F: Q0 f' d- S矩心不同,，力矩不同,。
規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉(zhuǎn)動時，力矩取正號,；反之,，取負號。
力矩的單位是Nmm,。
由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動,，則因為力的大小、方向和力臂都沒有改變,，所以不會改變該力對某一矩心的力矩,。
（2）若F=0，則Mo(F) = 0,；若Mo(F) = 0,，F(xiàn)≠0，則d=0,，即力F通過O點,。
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過矩心。
2.合力矩定理
設(shè)在物體上A點作用有平面匯交力系F1,、F2,、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得,。
0 l# p2 D$ D- I8 o( \4 d) }/ D
  _( F3 t  Z" E) Z計算力系中各力對平面內(nèi)任一點O的矩,，令OA=l，則
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
: d3 @* J1 o4 E4 }# @6 v* TMo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
由上圖可以看出,，合力F對O點的矩為
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
. L6 Q( k- Q2 P+ N! O( J$ h據(jù)合力投影定理,，有
2 H. R) Y( Y; R' A+ v  Y) aFy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
, C# ^8 m6 j0 ^8 IMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- u& |+ C; _; s3 Q6 u
合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任意一點之矩，等于其所有分力對同一點的力矩的代數(shù)和,。
$ H  o( N$ W0 m; w8 U" S3.力對點之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定義式,，即用力和力臂的乘積求力矩。
* w- Q2 v* H8 j+ a9 B* I% Q- {0 z注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線,。?
（2）運用合力矩定理求力矩,。力分解
6 r1 f6 s0 }* S. S例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束,，力F作用于C點，其方向角為 α ,，又知OB= l ,，BC= h ，求力F對O點的力矩,。
* |. K" ^2 x0 e! i1 U8 ?
解 （1）利用力矩的定義進行求解

$ ]( ~  F. f9 j+ k/ L9 c如圖,，過點O作出力F作用線的垂線，與其交于a點,則力臂d即為線段oa ,。再過B點作力作用線的平行線,，與力臂的延長線交于b點，則有
( Q5 T0 Z1 B* ?! g! V0 }6 `
（2）利用合力矩定理求解
將力F分解成一對正交的分力

力F的力矩就是這兩個分力對點O的力矩的代數(shù),。即
( `9 x( B7 X% [Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性質(zhì)
1.力偶的定義
1 g) [* n9 G& G, v9 b在工程實踐中常見物體受兩個大小相等,、方向相反、作用線相互平行的力的作用,，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動,。例如，用手擰水龍頭,、轉(zhuǎn)動方向盤等,。

- D" R4 m$ U, C( U  N& J6 `2 l力偶——大小相等、方向相反,、作用線相互平行的兩力,，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F,，F')
0 w, W& i. `( ]  q5 }; A+ T0 T力偶作用面——兩個力所在的平面
力偶臂——兩個力作用線之間的垂直距離d
0 }: o/ \+ ^3 ^* b. S' T力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動的方向
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動或改變轉(zhuǎn)動狀態(tài),。怎樣度量？
力使物體轉(zhuǎn)動的效應,，用力對點的矩度量,。
設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)'),，該力偶對任一點O的矩為
& q9 M; d. _" v: K$ D% r  G
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
' W: ]! Z* ?2 o$ W由于點O是任意選取的,，故力偶對作用面內(nèi)任一點的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無關(guān)）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時針轉(zhuǎn)向時,，力偶矩為正,，反之為負。
3 E' V$ m* p6 |6 I/ k  j力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣,，是一代數(shù)量,。
3 Q8 `" k( Y# H; b5 dMo(F) = ± Fd
" @. J5 P- M4 ?$ a5 x力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
2.力偶的性質(zhì)
- z  A/ N4 ^7 G/ M7 @& z（1）力偶無合力,。
力偶不能用一個力來等效,，也不能用一個力來平衡。
8 {# T) C# s( F& i; v可以將力和力偶看成組成力系的兩個基本物理量,。
（2）力偶對其作用平面內(nèi)任一點的力矩,，恒等于其力偶矩。
（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個力偶,，若它們的力偶矩大小相等,、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個力偶是等效的,。
力偶的等效條件：
  Z2 M3 u  }. a! }4 B1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對物體的作用,。即力偶對物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無關(guān)。
2）只要保持力偶矩不變,，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短,，而不會改變力偶對物體的作用。
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個力偶,。
+ B5 Q4 W8 q+ i3 N, X) Q1.平面力偶系的合成
例 兩個力偶的合成
. ?2 K) l. @" t4 n1 G

M=M1+M2+---+Mn ! V' V) Z0 n( {; f3 y, E

% ]/ b0 B- N3 W————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的結(jié)果為一個合力偶,，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零,，
例2-4 梁AB 受一主動力偶作用,，其力偶矩M=100Nm ，梁長l=5m ,，梁的自重不計,，求兩支座的約束反力。

/ k) O) E$ t3 Y& X* `解 （1）以梁為研究對象,，進行受力分析并畫出受力圖
  p! N# r9 h$ {) L/ C+ lFA必須與FB大小相等,、方向相反、作用線平行,。
" l6 e& z, z4 f（2）列平衡方程
/ M! O9 B: n# q9 J* b1 }( l" }

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi),，既不相交于一點又不完全平行。

上圖起重機橫梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的簡化
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動,，而不改變其對剛體的作用效應,。
. _* Y" G% a% F問題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
將作用在剛體上A點的力F平移動到剛體內(nèi)任意一點O,，

附加力偶,，其力偶矩為
" x% ]# _3 c" @5 T( J8 j6 [M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示,，附加力偶矩等于原力F對平移點的力矩。
" T" S, \1 H6 f1 q2 y& R; Q于是,，在作用于剛體上平移點的力F′和附加力偶M的共同作用下,，其作用效應就與力F作用在A點時等效。
. ]7 l! U" O0 L力的平移定理——作用于剛體上的力,，可平移到剛體上的任意一點,，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對平移點的力矩,。
根據(jù)力的平移定理,，可以將力分解為一個力和一個力偶；也可以將一個力和一個力偶合成為一個力,。
+ b6 X' R/ @$ g7 D
2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點的簡化

α——主矢與x軸的夾角
8 \  b! j- F# W+ }2 mMo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。
（由于每一個附加力偶矩等于原力對平移點的力矩,，所以主矩等于各分力對簡化中心的力矩的代數(shù)和,，作用在力系所在的平面上。）
5 M# u) m  T! K. ?0 A2 T. OMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
1 x4 B8 M; Y& [' E7 b6 ~平面一般力系向平面內(nèi)一點簡化,，得到一個主矢 F'R 和一個主矩 Mo,，
, y; ?9 m3 n! F' l  E8 j# }7 V+ A

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開方，作用在簡化中心上,。其大小和方向與簡化中心的選擇無關(guān),。

    主矩等于原力系各分力對簡化中心力矩的代數(shù)和，其值一般與簡化中心的選擇有關(guān),。

3. 簡化結(jié)果分析

    平面一般力系向平面內(nèi)任一點簡化,，得到一個主矢 F' R 和一個主矩 M o ，但這不是力系簡化的最終結(jié)果,，如果進一步分析簡化結(jié)果,，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

- ~  M+ [9 Y% e8 ~- A' N# d
( M# N& G, d/ W" @- f& X$ M! _2.平面平行力系的平衡條件
8 |! r0 C6 f7 d/ W平面平行力系的平衡方程為
7 W; e2 K% ~' V% l2 P) b" S
; l% L8 z3 W; D5 V( e: Z0 T

平面平行力系只有兩個獨立的平衡方程，因此只能求出兩個未知量,。

例2-6 塔式起重機的結(jié)構(gòu)簡圖如圖所示,。設(shè)機架重力 G =500kN ，重心在C點,，與右軌相距 a =1.5 m ,。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠距離 l =10 m ,。平衡物重力為 G 1 ,，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m ,。試求起重機在滿載與空載時都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍,。

! |: b, q' P/ F0 {2 O+ i# c解：取起重機為研究對象,。
- A9 {* E8 o! K/ s% G3 Z7 @是一平面平行力系

3.物體系統(tǒng)的平衡條件

物系——由多個構(gòu)件通過一定的約束組成的系統(tǒng)。

    若整個物系處于平衡時,，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡,。因此在求解有關(guān)物系的平衡問題時，既可以以整個系統(tǒng)為研究對象,，也可以取單個構(gòu)件為研究對象,。對于每一種選取的研究對象，一般情況下都可以列出三個獨立的平衡方程,。3n

物系外力——系統(tǒng)外部物體對系統(tǒng)的作用力

物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

物系的外力和內(nèi)力只是一個相對的概念,，它們之間沒有嚴格的區(qū)別。當研究整個系統(tǒng)平衡時,，由于其內(nèi)力總是成對出現(xiàn),、相互抵消，因此可以不予考慮,。當研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問題時,，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對它們的作用力就又成為這一研究對象的外力，必須予以考慮,。

無能

依圖為空間平行力系,，其平衡條件是：
7 M) T2 e* Q% {8 U& mP1+P2+P3+P4=W
$ G+ H; M5 |3 j9 n: f1 m; uWB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
3個平衡方程，4個未知量,，此為一次靜不定結(jié)構(gòu),，必須得知各個桿件的E，補個變形協(xié)調(diào)方程,，方可求解,。
對鋼而言，因為其彈模E高達200Gpa,，在靜不定的情況下,，某一構(gòu)件長或短若干微米，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長100的鋼管,，其彈變10微米,，外力變動就達1噸多，不可謂不大）,。所以此題若將支撐改為3個,，即變身為靜定結(jié)構(gòu)，求解就易如反掌了,。

w9049237

8# 草原蒙狼
* Q5 K2 q9 @4 w, v% A佩服.......無言!!