請(qǐng)教一四點(diǎn)支撐平臺(tái)各支點(diǎn)承重量計(jì)算的問(wèn)題

easylife

如下面的俯視圖,，
' B- z/ S+ o) X$ P) _8 L
# |5 C7 K+ R" d1 J平臺(tái)為一剛性水平臺(tái)，由彈性支撐件P1,P2,P3,P4支撐,。工作臺(tái)重心為圖中W點(diǎn),。總質(zhì)量為W.
0 c$ {* L# s+ w幾何尺寸如圖中所示.
請(qǐng)問(wèn)怎樣計(jì)算各個(gè)支撐件P1,P2,P3,P4的受力大�,�,？

李贛

1,、受力
2、力矩
平衡

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1,、受力
2,、力矩
平衡
' D2 V* T% r& t3 Blit_hiker 發(fā)表于 2009-9-28 15:51

' }+ k0 _. V2 f: K/ @1 N. W2 N9 m不知道怎么建立力矩平衡方程，能詳細(xì)講下么,？
謝謝

小白菜

可以先把同一側(cè)的兩點(diǎn)當(dāng)成一點(diǎn),，算出來(lái)后再把合成一點(diǎn)的兩點(diǎn)的力再算一次，高中的同向平行力,。

李贛

把旋轉(zhuǎn)軸設(shè)定在兩個(gè)支點(diǎn)上,，這兩點(diǎn)的力的力臂為零。

草原蒙狼

樓主需要補(bǔ)補(bǔ)課  上述用平面匯交力系可解  授人與魚(yú)不如授人與漁

請(qǐng)看下面  力學(xué)教材
' B& E! L% e* r! A
2.1 平面匯交力系

% n3 n- k* V0 |  W( w1 e平面匯交力系的工程實(shí)例：
9 r& B3 x7 ?: \$ j' A

3 A8 ^0 B. D# B' j( c% i
2 p* y, K) u% C7 d+ f/ z2.1.1 力的分解
( j: `7 H. M/ W9 `5 G2 {9 n
按照平行四邊形法則,，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力,，可以合成為一個(gè)合力，解是唯一的,；

但反過(guò)來(lái),，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力，如無(wú)足夠的條件限制,，其解將是不定的,。

6 s- v3 A6 m+ t) u2 w3 a& X4 B2 J2.1.2 力在坐標(biāo)軸上的投影

) e) `4 p2 F! I. \


" L3 I. C6 F; K- a( h% M) |+ h注意:力的投影是代數(shù)量,，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值,；反之,，取負(fù)值。

; X) ], l2 X8 s- q8 c

3 q0 I" B% c7 @9 V, [: @; E2.1.3合力投影定理

* g0 u2 ?: p3 U3 b5 H0 P


; B+ y: X; {# V( Z% k
8 s) H4 O' u! M( n
9 D  \! ?8 ?3 X. L$ h7 D6 U

7 u; M3 \. {' t! G& {# w# @, C4 Q
合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和,。

2.1.4 平面匯交力系的平衡條件

- B! ]  ]% {. l* s+ u平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力,，即平面匯交力系可用其合力來(lái)代替。顯然,，如果合力等于零,，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài)。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零,。即
0 G7 _& _  R- R: T7 r4 v, K
0 @  q# I9 c; U  w) B7 i
& H! _+ ^$ U! l# Y
即


% S6 q- b. e" Z# [) R
, R( ?2 K6 y0 E( f! }1 S  A, u
力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零,。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程，可以求解兩個(gè)未知量,。
3 k' M+ Y2 s) I5 B% f! J- Z
9 W5 f. m# n( c; k例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用,。已知F1=2000N，水平向左,；F2=5000N,，與水平成30度角；F3=3000N,，鉛直向下,，試求合力大小。（僅是求合力大�,。�

% O1 u4 @( v( s, U

例2-2 圖示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置,，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過(guò)定滑輪A,，繞在絞車(chē)D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承,，定滑輪半徑較小,，大小可忽略不計(jì)，定滑輪,、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì),，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí),，桿AB,、AC所受的力。
7 c4 a6 G' Y6 S4 f3 _$ b4 K
9 G  d; w+ h* a9 ~9 W

  [  m2 S. {. Z! U8 Q# `解 因?yàn)闂UAB,、AC都與滑輪接觸,，所以桿AB,、AC上所受的力就可以通過(guò)其對(duì)滑輪的受力分析求出。因此,，取滑輪為研究對(duì)象,，作出它的受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
' f' |2 X' @# ]4 c; k/ j3 r8 ^7 I$ P


解靜力學(xué)平衡問(wèn)題的一般方法和步驟：
) {  s$ i& d6 f$ x- a/ t
1.選擇研究對(duì)象 所選研究對(duì)象應(yīng)與已知力（或已求出的力）,、未知力有直接關(guān)系,，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力；

. ]0 f! q' b+ @2 I* Q3 I2.畫(huà)受力圖 根據(jù)研究對(duì)象所受外部載荷,、約束及其性質(zhì),，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖。
5 J3 t) b  V! h$ v5 i
3.建立坐標(biāo)系,，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標(biāo)系時(shí),，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直。
* l: p. }: ~- I
在根據(jù)平衡條件列平衡方程時(shí),，要注意各力投影的正負(fù)號(hào),。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí)，說(shuō)明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反,。

2 u3 y% g% W2 ^4 S6 K+ F' h& j2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對(duì)點(diǎn)之矩?(簡(jiǎn)稱為力矩)

1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念

& k2 N$ E8 S; |9 X* x為了描述力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng),，引入力對(duì)點(diǎn)之矩的概念。

: Q7 {" Q5 G/ s: s

力對(duì)點(diǎn)之矩用Mo（F）來(lái)表示,，即 Mo(F) = ± Fd
4 w: W5 a- j! T. q
# p# A) M6 X) h4 O+ H一般地,，設(shè)平面上作用一力F，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心,，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂,。



/ W' ~  c: H4 r# w" U1 KMo( F ) = ± 2△OAB
* P' O  Q1 h- ?% Q6 i
# K& `$ G7 t- H! m力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向,。
' b  W9 O5 G: V, U9 s+ l" ]
矩心不同,，力矩不同。
1 s: G$ O4 P$ U1 C: }# y3 ]4 U3 a
" e  j. l- l' |3 _  o1 a' t規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí),，力矩取正號(hào),；反之，取負(fù)號(hào),。

力矩的單位是Nmm,。
# \/ i' @4 |1 h! y4 M# B; u) F$ m
由力矩的定義可知：

（1）若將力F沿其作用線移動(dòng)，則因?yàn)榱Φ拇笮�,、方向和力臂都沒(méi)有改變,，所以不會(huì)改變?cè)摿��?duì)某一矩心的力矩。

  _0 j& ^' {. a" S3 d3 J（2）若F=0,，則Mo(F) = 0,；若Mo(F) = 0,，F(xiàn)≠0，則d=0,，即力F通過(guò)O點(diǎn),。
9 y/ P  Z& ~6 N4 J
  a6 J# B: ^2 d! Q力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過(guò)矩心。
6 u" A3 E2 e. c% g- j( k
2.合力矩定理

0 B& r! I+ j8 I: P設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1,、F2,、---Fn，該力的合力F可由匯交力系的合成求得,。
. Z" @4 G# V: \% Q. n' K2 `8 N( \

5 q* P! M; |0 X
計(jì)算力系中各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩,，令OA=l，則
, X4 m- K, p! m: u' h7 |
" [  g1 u8 ]1 q+ ?Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

% m; Q, U! a& Q& q4 z9 y  ]Mo(F2)=F2yl
7 F9 I9 r' W" Y( c$ B# H
- T) f2 ?* i# A9 T) x& C0 VMo(Fn)=Fnyl
" e) a% v5 `8 }& g7 S5 E8 X- L
由上圖可以看出,，合力F對(duì)O點(diǎn)的矩為

Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
$ A6 a' b" N; h* W' S# K$ v( ^5 f
( e, |- U- A, T" d1 l據(jù)合力投影定理,，有
8 {# t: Q% W$ p& M' P  U; l1 o
Fy=F1y+F2y+---+Fny

6 d. p; n) W2 A1 ~: X0 I% e3 XFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
+ J$ ]  C5 d$ q8 r4 y% Q
即
, ^3 J/ m! y7 `( P/ e$ l
) ^3 t' J% Z8 L$ c9 NMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
4 c( o+ x" a, U8 h' d
0 p; B( ~1 r" z4 q* @

合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和,。

3.力對(duì)點(diǎn)之矩的求法(力矩的求法)
, a' o8 p) V/ f  g6 g- i
（1）用力矩的定義式,，即用力和力臂的乘積求力矩。
6 p) x* n  K) A+ C
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離,，即力臂必須垂直于力的作用線,。?

（2）運(yùn)用合力矩定理求力矩。力分解

9 {1 K1 }0 R* H' ]! D4 @) U' ?, V例2-3 如圖所示,，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束,，力F作用于C點(diǎn)，其方向角為 α ,，又知OB= l ,，BC= h ，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩,。
  t, `! u- `3 \# ~% d% ^

8 _: V9 p' f) C9 _
% k6 p! C% q4 w% c解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解


9 G) j* z1 b# W
如圖,，過(guò)點(diǎn)O作出力F作用線的垂線，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa ,。再過(guò)B點(diǎn)作力作用線的平行線,，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn)，則有
% i9 h% p( J  n+ O. p# ~/ S
% V: b6 G3 x5 s
( J7 d# _, g6 A& }# U( H1 @; S5 m2 ~
（2）利用合力矩定理求解
5 h- e+ P0 ^1 Q* e, u
! t2 V( f: }' r+ `" @將力F分解成一對(duì)正交的分力

( n, ^( m: R" G( s& T  C! y4 G
. U3 ~( y  D# o
# n: p& ?: p# H1 Y, n$ ?! ]5 ~5 h力F的力矩就是這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù),。即
) L* @9 r" q# j6 \: r/ _/ n3 d, d
. j0 L6 g; E3 T& q3 l- y, h4 ]4 EMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)

( w" R7 ]) @3 u" w. F( i+ U# v8 g2.2.2力偶及其性質(zhì)

, {% V3 d3 W. k: _1.力偶的定義
" y- r) p8 p- K
0 `& ]9 d. M3 L9 f2 V0 O4 {在工程實(shí)踐中常見(jiàn)物體受兩個(gè)大小相等、方向相反,、作用線相互平行的力的作用,，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如,，用手?jǐn)Q水龍頭,、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)等,。
) w* U( o9 ~% ?/ }
# B5 G3 Y% R7 I, [# u& Y* x/ T# M
% E  l: @; j' x: I9 m, Q
3 x  y2 R0 H% D% R' ?, v力偶——大小相等、方向相反,、作用線相互平行的兩力,，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶。記作(F,，F(xiàn)')

. {# ?3 [, t% E, Z9 f& p0 r& E力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面

. D5 O3 S; S5 |9 c# y' D力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d

- I3 v- k5 U1 C2 e# m力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向

力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài),。怎樣度量？

力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng),，用力對(duì)點(diǎn)的矩度量,。

設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F，F(xiàn)'),，該力偶對(duì)任一點(diǎn)O的矩為
2 g+ _# `& P$ l+ B" B9 \4 |

) m! j+ M) f# F8 l9 d# |! `
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
9 g0 M3 N8 M2 {4 K) ?3 {
4 ^2 R$ E/ j8 }5 b( P) s由于點(diǎn)O是任意選取的,，故力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無(wú)關(guān)）
2 }7 x& v6 n0 V8 C* Q
! x6 @  a7 w( [. y力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積，記作M(F,F')或M
, r7 h/ p) V/ j
  R& h2 i' Y) yM(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí),，力偶矩為正,，反之為負(fù)。
! H) S2 _, }, \$ @
4 K. [( n2 a. ]  w0 g+ j* r力偶矩的單位是Nmm,。 力偶同力矩一樣,，是一代數(shù)量。
, }3 C, p0 q& p# ?% `
, H2 s; ]' ^5 J- XMo(F) = ± Fd

/ ]- b( E, C6 R' w% m* P: G( O力偶的三要素——大小,、轉(zhuǎn)向和作用平面

. N  Q. p3 ?1 }  R: @5 s2.力偶的性質(zhì)

（1）力偶無(wú)合力,。

7 x, h( ?# t( q, d( m4 m: j8 P力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡,。

可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量,。

7 n! Q& W4 K, ]: |  l" P+ ]（2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩，恒等于其力偶矩,。

（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶,，若它們的力偶矩大小相等、轉(zhuǎn)向相同,，則這兩個(gè)力偶是等效的,。

力偶的等效條件：

1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的作用。即力偶對(duì)物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān),。

2 c8 A1 [3 P7 q  g$ }5 @2）只要保持力偶矩不變,，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用,。

2.2.3平面力偶系的合成與平衡
* A+ e, G7 d/ d) s& h5 F" J: ?
9 W& I# v- R- L! u平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶,。
  k" f, {& q/ P1 ?' a1 |# Y
1.平面力偶系的合成

/ O" k* w8 b0 G' d例 兩個(gè)力偶的合成


M=M1+M2+---+Mn
9 i% _  y% c1 L7 N" ]/ z( j

; H* _6 O3 _" t————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

2 q) y5 F! l# ?4 w5 `2.平面力偶系的平衡
7 k1 s/ n; M3 @- G8 U
2 _; Y- K/ Y( ~4 A, b) q平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶，因而要使力偶系平衡，就必須使合力偶矩等于零,，
) W8 H# X+ u' _; K. a
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用,，其力偶矩M=100Nm ，梁長(zhǎng)l=5m ,，梁的自重不計(jì),，求兩支座的約束反力。
1 z+ k" ^( K: o* q
5 A5 z) y8 m- Y" A: _! N. j
* v. w; n' V6 v& i* Y1 k+ o
解 （1）以梁為研究對(duì)象,，進(jìn)行受力分析并畫(huà)出受力圖

FA必須與FB大小相等,、方向相反、作用線平行,。

（2）列平衡方程

   
+ C# r- R4 Y% |  n. b& a
2.3 平面一般力系
/ Q( I- v' x( U5 u$ u
7 J% J8 r9 z3 o" C. s4 e$ C平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi),，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行。



' J* l* \% F% i4 s3 r5 t2 w+ r上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用

2.3.1平面一般力系的簡(jiǎn)化
) c! S* {5 \8 M) q5 V: y
5 B; s, x7 X3 Z. y: k" F( T" k1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng),，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng),。
+ _, i6 j% _" _3 e8 i& y
2 A+ i0 }4 c# c) [; z3 k問(wèn)題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置？
  T  d# S' K, j# V. \0 \4 d+ I8 B+ F1 _
將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O,，
/ e8 p) z# [: e1 I  C# v# }& l


/ f; j5 i9 H' K4 f  B5 U附加力偶,，其力偶矩為

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩,。
. j9 K' \9 _" k, Y% _* Z
于是,，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效,。

力的平移定理——作用于剛體上的力,，可平移到剛體上的任意一點(diǎn)，但必須附加一力偶,，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩,。
) W: U1 c9 R4 k0 G
; q4 ~  ]' t1 |根據(jù)力的平移定理，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶,；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力,。
2 c: r2 L4 V/ c: L& p" N
; G. I7 J$ J( ?
1 J8 }# k; z9 `1 Q" k( Q2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

+ F" Z2 A' M) H! B
7 V) K4 A$ V  F
/ W/ n! d5 _* t" ~. {4 M/ C
+ ~5 t  A; p  _. S8 Wα——主矢與x軸的夾角

Mo——平面一般力系的主矩
; s& d/ N0 G! s/ h6 I& F9 R/ B! R4 P5 M
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和。
; y( A' A  B0 x# ?8 z$ H! P
（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩,，所以主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和,，作用在力系所在的平面上。）
" H/ x& s# ]" I$ A1 t! a
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

2 x! @0 {* Y* W6 j平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化,，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩 Mo,，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開(kāi)方，作用在簡(jiǎn)化中心上,。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān),。

) {, |; c* y6 s: x) `    主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和,，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān)。
6 e, q+ U' w8 S% Y4 x4 h- J  X
( |, C: ~1 R& d7 b$ ]3. 簡(jiǎn)化結(jié)果分析
( H4 d! v: ^' K! D8 F! B
    平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化,，得到一個(gè)主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M o ，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果,，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果,，則有下列情況：
( ~# l  G- ~2 r# \  }2 ]" a
+ V8 f) `3 K3 _0 o& J, H0 DF'R =0, M o ≠0
; J5 \1 k9 d5 ], x5 S3 T2 ^* L. R: m
2 g6 y+ V4 `- c* RF'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

+ N6 ]' M# G! W( D8 X2.3.2 平面一般力系的平衡
% @! N% G6 s7 O) ^* U4 @
1.平面一般力系的平衡條件

6 {* ~1 ~- e$ O! k" l平面一般力系平衡的必要與充分條件為：
: i; `  O8 c' I$ b# J3 U% G
( g1 V: X' c  a# R& F9 x' H

- r2 X& R' q" T6 {  
9 e, V3 H0 W4 ]7 L
2.平面平行力系的平衡條件
" v# z7 t# h: L) t
平面平行力系的平衡方程為


( }' `$ T0 L8 P/ x
平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求出兩個(gè)未知量,。

- X6 J4 y: ?; Q例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示,。設(shè)機(jī)架重力 G =500kN ，重心在C點(diǎn),，與右軌相距 a =1.5 m ,。最大起吊重量 P =250kN ，與右軌 B 最遠(yuǎn)距離 l =10 m ,。平衡物重力為 G 1 ,，與左軌 A 相距 x =6 m ，二軌相距 b =3 m ,。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍,。
2 x5 W7 P6 I' V; w  l" b$ T1 u: x
& z; b6 U  T3 r. ?
) b2 s3 k8 [( k  ]1 \4 q/ Z
2 n) [; `3 B2 D- \6 k4 C% F3 u解：取起重機(jī)為研究對(duì)象。

4 f5 [9 ?) L9 f% b. `是一平面平行力系
# _: x; I% M7 j" B4 p' H( T! Q' B/ J
3.物體系統(tǒng)的平衡條件
) z4 c8 H& }4 z$ g4 j; v
* n- R) y5 _5 i+ J7 _  p6 W0 S物系——由多個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定的約束組成的系統(tǒng),。

    若整個(gè)物系處于平衡時(shí),，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡。因此在求解有關(guān)物系的平衡問(wèn)題時(shí),，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象,，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程,。3n
% G, Q- f9 T! n. r
物系外力——系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力
3 I! P, P' A+ T: c
, e$ F9 f- R' t; [; d物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念，它們之間沒(méi)有嚴(yán)格的區(qū)別,。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí),，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)、相互抵消,，因此可以不予考慮,。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力,，必須予以考慮,。

草原蒙狼

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7 y8 K* N2 L6 M; i: |* r

2.1 平面匯交力系

平面匯交力系的工程實(shí)例：

2.1.1 力的分解
按照平行四邊形法則，兩個(gè)共作用點(diǎn)的力,，可以合成為一個(gè)合力,，解是唯一的；
6 z! p' r' I, V% ]/ F+ J& ]- @但反過(guò)來(lái),，要將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)力,，如無(wú)足夠的條件限制，其解將是不定的,。
8 C/ i5 w# a9 k( E7 g' p1 x2.1.2 力在坐標(biāo)軸上的投影

% q3 x% d. U- r注意:力的投影是代數(shù)量,，它的正負(fù)規(guī)定如下：如由a到b的趨向與x軸（或y軸）的正向一致時(shí)，則力F的投影Fx（或Fy）取正值,；反之,，取負(fù)值,。

. @, r6 u) f$ A& t0 K: p2.1.3合力投影定理
' D$ O9 y9 c1 j% H! u' Z

/ o5 b" P0 K/ T/ R8 S9 A8 I7 z, g % l1 p) F  A* {

3 ~: s" Z" `4 P  G# a合力投影定理——合力在某一軸上的投影等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。
0 k0 D% C, Y5 O& N( @) r$ C2.1.4 平面匯交力系的平衡條件
平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，即平面匯交力系可用其合力來(lái)代替,。顯然,，如果合力等于零,，則物體在平面匯交力系的作用下處于平衡狀態(tài),。平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力F等于零。即
  D( K: i7 ?9 \7 k8 e3 m/ n# J! h

( {- H0 s! t5 |  ^+ I$ x8 Y 即

2 {  Z2 Q" s3 j9 q力系中所有各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中每一軸上投影的代數(shù)和都等于零,。這是兩個(gè)獨(dú)立的方程,，可以求解兩個(gè)未知量。
, O% _% |( F) f. U! e例2-1 如圖所示為一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力作用,。已知F1=2000N,，水平向左；F2=5000N,，與水平成30度角,；F3=3000N，鉛直向下,，試求合力大小,。（僅是求合力大小）

9 Y4 ]/ G- u0 y例2-2 圖示為一簡(jiǎn)易起重機(jī)裝置,，重量G=2kN的重物吊在鋼絲繩的一端,，鋼絲繩的另一端跨過(guò)定滑輪A，繞在絞車(chē)D的鼓輪上,，定滑輪用直桿AB和AC支承,，定滑輪半徑較小，大小可忽略不計(jì),，定滑輪,、直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì),，各處接觸都為光滑。試求當(dāng)重物被勻速提升時(shí),，桿AB,、AC所受的力。

, A; F8 L' X2 R4 M8 E* {7 z解 因?yàn)闂UAB,、AC都與滑輪接觸,，所以桿AB、AC上所受的力就可以通過(guò)其對(duì)滑輪的受力分析求出,。因此，取滑輪為研究對(duì)象,，作出它的受力圖并以其中心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,。由平面匯交力系平衡條件列平衡方程有
$ b+ B. Q: ?# @* ^, }  f$ v7 l& r
8 j* a" |( ]( b5 G" P  ]1 Y解靜力學(xué)平衡問(wèn)題的一般方法和步驟：
1.選擇研究對(duì)象 所選研究對(duì)象應(yīng)與已知力（或已求出的力）、未知力有直接關(guān)系,，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知條件求未知力,；
0 ?& r# H) n1 M  a4 G- V: b2.畫(huà)受力圖 根據(jù)研究對(duì)象所受外部載荷、約束及其性質(zhì),，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析并得出它的受力圖,。
( M, n7 p& ^7 C! x3.建立坐標(biāo)系，根據(jù)平衡條件列平衡方程 在建立坐標(biāo)系時(shí),，最好有一軸與一個(gè)未知力垂直,。
* g+ e- p* R0 b& g- f在根據(jù)平衡條件列平衡方程時(shí)，要注意各力投影的正負(fù)號(hào),。如果計(jì)算結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)號(hào)時(shí),，說(shuō)明原假設(shè)方向與實(shí)際受力方向相反。
2 X( _6 @  K/ x/ F! A7 z

2.2 力矩與平面力偶系

2.2.1 力對(duì)點(diǎn)之矩?(簡(jiǎn)稱為力矩)

1.力對(duì)點(diǎn)之矩的概念

為了描述力對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng),，引入力對(duì)點(diǎn)之矩的概念,。

力對(duì)點(diǎn)之矩用Mo（F）來(lái)表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地,，設(shè)平面上作用一力F,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——矩心，O點(diǎn)到力作用線的垂直距離d稱為力臂,。
0 G* n) N/ ?5 a% U$ E4 g% S
Mo( F ) = ± 2△OAB
4 I2 Y* Z9 N* U0 j2 G力對(duì)點(diǎn)之矩是一代數(shù)量,，式中的正負(fù)號(hào)用來(lái)表明力矩的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。
- t3 j3 V8 O4 n3 p+ h; Q矩心不同,，力矩不同,。
8 ~7 }* x$ R& p& E3 T規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩取正號(hào),；反之,，取負(fù)號(hào),。
1 T3 o) n' `2 C2 I力矩的單位是Nmm。
2 ^4 Q  J/ ~& f由力矩的定義可知：
（1）若將力F沿其作用線移動(dòng),，則因?yàn)榱Φ拇笮�,、方向和力臂都沒(méi)有改變，所以不會(huì)改變?cè)摿��?duì)某一矩心的力矩,。
（2）若F=0,，則Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0,，F(xiàn)≠0,，則d=0，即力F通過(guò)O點(diǎn),。
力矩等于零的條件是：力等于零或力的作用線通過(guò)矩心,。
2.合力矩定理
設(shè)在物體上A點(diǎn)作用有平面匯交力系F1、F2,、---Fn,，該力的合力F可由匯交力系的合成求得。

計(jì)算力系中各力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)O的矩,，令OA=l,，則
2 W$ \# ]4 X9 a* w' l- dMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
9 T8 Q5 t' V. w" J6 f! S6 GMo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
$ O" q) D6 F* j; d' {: ]3 K6 C由上圖可以看出，合力F對(duì)O點(diǎn)的矩為
7 |, e# x7 X6 F, Q9 [Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
3 t3 U1 a, _: o7 d據(jù)合力投影定理,，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
4 P! e8 K5 f8 c; ?2 Y6 W0 EFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- v+ a/ M, V2 [
合力矩定理：平面匯交力系的合力對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)之矩,，等于其所有分力對(duì)同一點(diǎn)的力矩的代數(shù)和。
" j% M- v5 E3 d4 ?3 P3.力對(duì)點(diǎn)之矩的求法(力矩的求法)
" d+ W  I4 x; u1 ~$ F! s2 {（1）用力矩的定義式,，即用力和力臂的乘積求力矩,。
注意：力臂d是矩心到力作用線的距離，即力臂必須垂直于力的作用線,。?
（2）運(yùn)用合力矩定理求力矩,。力分解
( \' v8 y0 }% r9 h8 W3 @例2-3 如圖所示，構(gòu)件OBC的O端為鉸鏈支座約束,，力F作用于C點(diǎn),，其方向角為 α ，又知OB= l ,，BC= h ,，求力F對(duì)O點(diǎn)的力矩。

" z  l* w9 o5 V+ \/ q* G, g解 （1）利用力矩的定義進(jìn)行求解
) a1 d' [" i2 v$ ^
9 D4 B: W# D* G! a2 {如圖,，過(guò)點(diǎn)O作出力F作用線的垂線,，與其交于a點(diǎn),則力臂d即為線段oa 。再過(guò)B點(diǎn)作力作用線的平行線,，與力臂的延長(zhǎng)線交于b點(diǎn),，則有

! Z( ~' Y" J. H! l4 Y（2）利用合力矩定理求解
) C& l, E6 ?' d* \( f. [* Y將力F分解成一對(duì)正交的分力
+ ?. J/ I- a) {0 z% R& v4 m! B8 n
力F的力矩就是這兩個(gè)分力對(duì)點(diǎn)O的力矩的代數(shù),。即
6 \( I- D) m! Q& Q3 _Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性質(zhì)
1.力偶的定義
/ p) h% H, r. @4 _8 l* d在工程實(shí)踐中常見(jiàn)物體受兩個(gè)大小相等、方向相反,、作用線相互平行的力的作用,，使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)。例如,，用手?jǐn)Q水龍頭,、轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤(pán)等。
" d% ~% F& w( [" X% P2 x
力偶——大小相等,、方向相反,、作用線相互平行的兩力，如圖中的力F與F'構(gòu)成一力偶,。記作(F,，F')
力偶作用面——兩個(gè)力所在的平面
力偶臂——兩個(gè)力作用線之間的垂直距離d
& u) k. \3 C4 y$ B力偶的轉(zhuǎn)向——力偶使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的方向
力偶只能使物體轉(zhuǎn)動(dòng)或改變轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。怎樣度量,？
力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，用力對(duì)點(diǎn)的矩度量,。
6 [, K: r/ y( L$ Q4 e設(shè)物體上作用一力偶臂為d的力偶(F,，F(xiàn)')，該力偶對(duì)任一點(diǎn)O的矩為

( s, v/ ?' h1 b0 LMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于點(diǎn)O是任意選取的,，故力偶對(duì)作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘積（與矩心位置無(wú)關(guān)）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘積,，記作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 規(guī)定：力偶逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，力偶矩為正,，反之為負(fù),。
力偶矩的單位是Nmm。 力偶同力矩一樣,，是一代數(shù)量,。
9 d. _. V3 N4 d! S) h3 j7 uMo(F) = ± Fd
9 F3 `( S5 C4 ~: ]0 g' V力偶的三要素——大小、轉(zhuǎn)向和作用平面
2.力偶的性質(zhì)
（1）力偶無(wú)合力,。
力偶不能用一個(gè)力來(lái)等效,，也不能用一個(gè)力來(lái)平衡。
可以將力和力偶看成組成力系的兩個(gè)基本物理量,。
3 D, T7 i2 v( h（2）力偶對(duì)其作用平面內(nèi)任一點(diǎn)的力矩,，恒等于其力偶矩。
0 o- G+ {* M/ }/ ?（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的兩個(gè)力偶,，若它們的力偶矩大小相等,、轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶是等效的,。
8 w1 `6 P; J1 B0 r9 z$ Z# H0 `力偶的等效條件：
3 R( w' q& _- ?6 \' p  l  ]: R1）力偶可以在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)而不改變它對(duì)物體的作用,。即力偶對(duì)物體的作用與它在作用面內(nèi)的位置無(wú)關(guān),。
2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短,，而不會(huì)改變力偶對(duì)物體的作用,。
2.2.3平面力偶系的合成與平衡
平面力偶系——作用在剛體上同一平面內(nèi)的多個(gè)力偶。
: ?* {- q" H! j( i+ z" M: x1.平面力偶系的合成
例 兩個(gè)力偶的合成
- Z- w. T9 N( }. X  R4 Z0 d

M=M1+M2+---+Mn " p: f$ r1 i% G/ M$ D- h% I

% Y1 v% W. {$ }5 j————力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
( q" Y+ V6 a9 u) I5 R& b  ~平面力偶系合成的結(jié)果為一個(gè)合力偶,，因而要使力偶系平衡,，就必須使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主動(dòng)力偶作用,，其力偶矩M=100Nm ,，梁長(zhǎng)l=5m ，梁的自重不計(jì),，求兩支座的約束反力,。

# E4 v- Z) A# R  }0 @解 （1）以梁為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析并畫(huà)出受力圖
FA必須與FB大小相等,、方向相反,、作用線平行。
（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物體上的各力作用線都在同一平面內(nèi),，既不相交于一點(diǎn)又不完全平行,。

5 t6 _9 [+ j5 \$ Q7 \0 m上圖起重機(jī)橫梁AB受平面一般力系的作用
8 I" B6 U+ p- K/ s2.3.1平面一般力系的簡(jiǎn)化
1.力的平移定理力的可傳性——作用于剛體上的力可沿其作用線在剛體內(nèi)移動(dòng)，而不改變其對(duì)剛體的作用效應(yīng),。
問(wèn)題：如果將力平移到剛體內(nèi)另一位置,？
將作用在剛體上A點(diǎn)的力F平移動(dòng)到剛體內(nèi)任意一點(diǎn)O，
- a) L5 ]" ~+ p+ U
附加力偶,，其力偶矩為
. ^! i+ l6 V6 t6 M- jM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
3 L. o9 S: d; R* L! w上式表示,，附加力偶矩等于原力F對(duì)平移點(diǎn)的力矩。
于是,，在作用于剛體上平移點(diǎn)的力F′和附加力偶M的共同作用下,，其作用效應(yīng)就與力F作用在A點(diǎn)時(shí)等效。
! s- ^. t+ A1 }) W: [  j力的平移定理——作用于剛體上的力,，可平移到剛體上的任意一點(diǎn),，但必須附加一力偶，其附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩,。
, c9 c8 [) m* A5 ]: d: {' ]根據(jù)力的平移定理,，可以將力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；也可以將一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力,。

5 H! g  j/ A) t6 Q7 W. w2.平面一般力系向平面內(nèi)任意一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

. o; ]9 q  s% o1 A7 ]α——主矢與x軸的夾角
Mo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代數(shù)和,。
6 [  a" s/ a% b& H+ c, a( \3 Q（由于每一個(gè)附加力偶矩等于原力對(duì)平移點(diǎn)的力矩，所以主矩等于各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心的力矩的代數(shù)和,，作用在力系所在的平面上,。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- O7 T; z9 O, @! j; R平面一般力系向平面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化,，得到一個(gè)主矢 F'R 和一個(gè)主矩 Mo，
, \( F, b& }+ ], Z$ b( ]

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再開(kāi)方,，作用在簡(jiǎn)化中心上,。其大小和方向與簡(jiǎn)化中心的選擇無(wú)關(guān)。

    主矩等于原力系各分力對(duì)簡(jiǎn)化中心力矩的代數(shù)和,，其值一般與簡(jiǎn)化中心的選擇有關(guān),。

3. 簡(jiǎn)化結(jié)果分析

    平面一般力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，得到一個(gè)主矢 F' R 和一個(gè)主矩 M o ,，但這不是力系簡(jiǎn)化的最終結(jié)果,，如果進(jìn)一步分析簡(jiǎn)化結(jié)果，則有下列情況：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的必要與充分條件為：

) D  J9 y+ ?$ ?% q, g7 K) [
2.平面平行力系的平衡條件
平面平行力系的平衡方程為
$ H, h& Z- r% s: I

平面平行力系只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程,，因此只能求出兩個(gè)未知量,。

例2-6 塔式起重機(jī)的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖所示。設(shè)機(jī)架重力 G =500kN ,，重心在C點(diǎn),，與右軌相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ,，與右軌 B 最遠(yuǎn)距離 l =10 m ,。平衡物重力為 G 1 ，與左軌 A 相距 x =6 m ,，二軌相距 b =3 m ,。試求起重機(jī)在滿載與空載時(shí)都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范圍,。

6 n7 s6 X/ A$ v解：取起重機(jī)為研究對(duì)象,。
是一平面平行力系

3.物體系統(tǒng)的平衡條件

物系——由多個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定的約束組成的系統(tǒng)。

    若整個(gè)物系處于平衡時(shí),，那么組成這一物系的所有構(gòu)件也處于平衡,。因此在求解有關(guān)物系的平衡問(wèn)題時(shí)，既可以以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,，也可以取單個(gè)構(gòu)件為研究對(duì)象,。對(duì)于每一種選取的研究對(duì)象，一般情況下都可以列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程,。3n

物系外力——系統(tǒng)外部物體對(duì)系統(tǒng)的作用力

物系內(nèi)力——系統(tǒng)內(nèi)部各構(gòu)件之間的相互作用力

物系的外力和內(nèi)力只是一個(gè)相對(duì)的概念,，它們之間沒(méi)有嚴(yán)格的區(qū)別。當(dāng)研究整個(gè)系統(tǒng)平衡時(shí),，由于其內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn),、相互抵消，因此可以不予考慮,。當(dāng)研究系統(tǒng)中某一構(gòu)件或部分構(gòu)件的平衡問(wèn)題時(shí),，系統(tǒng)內(nèi)其它構(gòu)件對(duì)它們的作用力就又成為這一研究對(duì)象的外力,，必須予以考慮。
  k' U2 [: }5 S

無(wú)能

依圖為空間平行力系,，其平衡條件是：
/ \- c) w8 E5 l/ mP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
, p0 t' }( ]+ a2 k0 d3個(gè)平衡方程,，4個(gè)未知量，此為一次靜不定結(jié)構(gòu),，必須得知各個(gè)桿件的E,，補(bǔ)個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，方可求解,。
: K% `+ {' e! x4 f* Q對(duì)鋼而言,，因?yàn)槠鋸椖�E高達(dá)200Gpa，在靜不定的情況下,，某一構(gòu)件長(zhǎng)或短若干微米,，受力情況就面目全非（比如Φ50X4長(zhǎng)100的鋼管，其彈變10微米,，外力變動(dòng)就達(dá)1噸多,，不可謂不大）。所以此題若將支撐改為3個(gè),，即變身為靜定結(jié)構(gòu),，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
佩服.......無(wú)言!!