你了解幾何嗎——稀奇古怪的三角形

掃街

在紙上畫三角形,，無(wú)論是怎樣畫，把三角形里面的3個(gè)角加起來,，都會(huì)等于 180度 即使是畫100個(gè),、1000個(gè)，也絕對(duì)不會(huì)有一個(gè)例外,。有誰(shuí)不信,，不妨動(dòng)手畫上1萬(wàn)個(gè)，再用量角器去量一量,�,！　∧敲矗�能不能找到一種三角形,，它的內(nèi)角和不等于180度 呢,？
; {1 s+ E4 C* o3 o  }+ N. n8 j　　在200年前，如果有誰(shuí)提出了這樣一個(gè)問題,，準(zhǔn)會(huì)有人對(duì)他嗤之以鼻："哼,，這也用問，三角形的內(nèi)角和等于180度,，這是幾何書中的一個(gè)定理,！"
; }/ }( I  j* g, I4 S　　定理就是經(jīng)過邏輯推理證明是正確的數(shù)學(xué)結(jié)論。如果有誰(shuí)不信"邪",，仍要問一聲："這個(gè)定理就一定那么可靠嗎,？"那么，人們就會(huì)搬來經(jīng)典著作《幾何原本》,，翻開頭幾頁(yè),，指著"第5公設(shè)"對(duì)他說："瞧，這個(gè)定理的正確性可以由它來保證,。"
9 l$ z+ t9 Z* t( P　　公設(shè)也就是公理,，是一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)論，它們的正確性經(jīng)過了實(shí)踐的反復(fù)證明,，是不證自明的,。不朽名著《幾何原本》中的全部定理，都建立在10個(gè)公理的基礎(chǔ)上,。有誰(shuí)敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個(gè)定理,，也就等于是懷疑第5公設(shè)有問題,。如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎,？
　　第5公設(shè)也就是"平行公理",，它的意思是："在平面內(nèi)，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn),，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行,。"試試看，過直線外的一個(gè)點(diǎn),，你能作出第2條平行線來嗎,？
4 Z8 q. O2 z! I! d" z8 }# a　　既然有第5公設(shè)作保證，三角形的內(nèi)角和看來也就只好都等于180度 了,。
. B; `& N6 {& n7 n# z, f# H　　不過,，數(shù)學(xué)家們對(duì)這個(gè)"第5公設(shè)"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯(cuò)誤,，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然,，很像是一個(gè)定理，于是試圖用其他的9個(gè)公理把它證明出來,，進(jìn)而將它從公理的行列中趕出去,。
　　《幾何原本》問世后的2000多年里，數(shù)學(xué)家傾注了無(wú)窮無(wú)盡的智慧,，始終也未能證明出第5公設(shè)。雖然有不少人曾宣稱解決了這個(gè)問題,，但一檢查就發(fā)現(xiàn),，他們不是證明過程有錯(cuò)誤，就是用一個(gè)更不明顯的公理代替了第5公設(shè),。無(wú)可奈何之下,，大數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾稱它是"幾何學(xué)中的家丑"。
　　19世紀(jì)初,，有個(gè)叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年,，決定獻(xiàn)身于第5公設(shè)的研究。他父親是個(gè)數(shù)學(xué)家,，聽到這個(gè)消息給嚇壞了,。盡管父子倆天天生活在一起，老波里亞為了鄭重其事,，竟用筆給兒子寫了一封勸告信,。
* J' q8 ?6 |- t, H$ c. L　　波里亞深知父親的苦惱和失望，但他沒有知難而退,，義無(wú)反顧地闖進(jìn)了這個(gè)"毫無(wú)希望的黑夜",。他很快就發(fā)現(xiàn)，只要改變第5公設(shè)，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學(xué)來,，于是提出了一個(gè)新的平行公理：
　　"在平面內(nèi),，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，至少可以作兩條直線與已知直線相平行,。
# v. L0 r7 k( s* K* m　　這個(gè)新公理否定了平行線的唯一性,。以它為基礎(chǔ)，再加上原來的9個(gè)公理,，就組成了一門新的幾何學(xué),，叫雙曲幾何學(xué)。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理,，在雙曲幾何學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非,，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論。例如,，在雙曲幾何學(xué)中,，不存在矩形，也不存在相似三角形,。最有趣的是,，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和，而它們又都比180度 �,�,！
& ?, e" i7 V' q4 T: b　　能夠作出一種三角形，使它的內(nèi)角和小于180度,？對(duì)于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說,，這不啻是個(gè)"荒誕無(wú)稽"的海外奇談。連老波里亞也無(wú)法理解兒子的創(chuàng)造,，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請(qǐng)求,，直到1832年，由于兒子的再三請(qǐng)求,，老波里亞才勉強(qiáng)同意將它作為一個(gè)附錄,，隨同自己的著作一起出版。
0 B8 d& S3 T, x8 x$ _: R　　老波里亞與"數(shù)學(xué)王子"高斯是大學(xué)時(shí)代的同窗好友,，他把"附錄"的清樣寄給高斯,，想聽聽這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見。1832年3月,，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才",，但同時(shí)又說，他不便公開贊許,，因?yàn)榉Q贊波里亞就等于稱贊他自己,。
7 F. A. f) S( p! p+ t: z7 O　　原來,，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn),。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究,，唯恐這種新幾何學(xué)在直觀上的"荒誕無(wú)稽"而遭到人恥笑。
　　捍衛(wèi)真理是需要勇氣的,。
( e! s; ]+ E& D: K: g5 _　　早在波里亞著作發(fā)表之前6年,，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士,，率先亮出了這門新幾何學(xué)的旗幟,。
$ T/ I" d* B; i0 \! i0 k. a& D　　羅巴切夫斯基是一個(gè)偉大的俄國(guó)數(shù)學(xué)家。他獨(dú)立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn),，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生,。當(dāng)時(shí)，數(shù)學(xué)家們不理解他,，認(rèn)為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個(gè)"笑話",，有人嘲笑他是"對(duì)有學(xué)問的數(shù)學(xué)家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人,，更是趁機(jī)對(duì)他進(jìn)行惡毒的攻擊和下流的謾罵,。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作,，甚至當(dāng)他已成為一個(gè)瞎眼老人時(shí),，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學(xué)》，為這門新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國(guó)里取得合理的地位而大聲疾呼,。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生,，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué)。
　　羅巴切夫斯基,、波里亞和高斯，用他們創(chuàng)造性的工作,，動(dòng)搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀念,，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路。1854年,，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)"不可思議"時(shí),，高斯的學(xué)生黎曼，又給幾何王國(guó)增添了一種新的幾何學(xué),。
　　黎曼提出了另一種新的平行公理：
　　"在平面上,，過已知直線外的一個(gè)點(diǎn)，不能作直線與已知直線相平行,。"
5 O9 C: W: Q, W: ~. [　　這個(gè)新公理干脆否定了平行線的存在性,。以它為基礎(chǔ),，再加上原來的9個(gè)公理，就組成了橢圓幾何學(xué),，也叫黎曼幾何學(xué),。
0 F! j9 h0 {: C9 }　　在這種新的幾何學(xué)里，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢,？有趣得很,，它既不等于180度 ，也不小于180度,，而是大于180度 ,。
' Z0 d0 }$ |; {8 h: C( w) g　　黎曼幾何學(xué)中還有許多奇妙的結(jié)論，例如,，"直線的長(zhǎng)是有限的,，但卻無(wú)止境。"要弄懂這些理論非常困難,。據(jù)說,，當(dāng)黎曼第一次宣讀這方面的論文時(shí)，除了高斯以外,，會(huì)場(chǎng)上竟找不出第二個(gè)能夠聽懂的人,。
　　羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)都是"純粹人造的"幾何學(xué)，與人們的常識(shí)相悖,，乍看起來都顯得非常不可思議,。實(shí)際上，它們比傳統(tǒng)的幾何學(xué)更加深刻地反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式,。舉一個(gè)最著名的例子：愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對(duì)論,，就是以黎曼幾何學(xué)的空間概念為基礎(chǔ)的！根據(jù)相對(duì)論學(xué)說,，現(xiàn)實(shí)空間會(huì)發(fā)生彎曲,，到處是新幾何學(xué)的用武之地。
　　相傳高斯做過一次有趣的實(shí)驗(yàn),，他把相距很遠(yuǎn)的3座山峰,，看作是三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，然后計(jì)算它的內(nèi)角和,，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 ,。這正是黎曼幾何學(xué)的結(jié)論。也許有人會(huì)說："這不是一個(gè)三角形,。因?yàn)樗�不在一個(gè)平面上,，而是在地球這個(gè)曲面上！"那么,，哪里去找平面呢,？運(yùn)動(dòng)場(chǎng)是平面嗎,？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個(gè)曲面的一部分,。這樣,，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒有三角形,，怎么會(huì)有內(nèi)角和等于180度呢,？
" R) z/ f$ E! g. V　　羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實(shí)空間，但是,，在我們的日常生活里,，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi),，水平面是非常接近于平面的,。實(shí)際上，我們也根本無(wú)法測(cè)出它的彎曲度,。這樣,，測(cè)量水面上一個(gè)三角形的內(nèi)角和，雖然它實(shí)際上并不等于180度,，我們卻無(wú)法測(cè)出它與真值之間的誤差,。所以，在我們身邊這個(gè)不大不小的空間里,，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的,。
　　因此，在紙上畫三角形,，無(wú)論是怎樣畫,，把它的3個(gè)內(nèi)角加起來，都會(huì)等于180度 ,。但我們也應(yīng)當(dāng)知道,，在數(shù)學(xué)王國(guó)里，確實(shí)還有一些"稀奇古怪"的三角形,，它的內(nèi)角和是不等于180度 的,。

老飄

{:soso_e140:}原來我們的幾何是建立在一個(gè)不存在的基礎(chǔ)上的啊,？,？？,？
' C' h) L5 V( {9 r- _  y

東海fyh126

球面上的三角形就是如此,。。,。,。。,。,。。,。,。

cncw252

數(shù)學(xué)補(bǔ)考兩次的表示一多半沒看懂

waiwai2008

很有意思....說的太對(duì)了...有些定理都沒有被證明就被傳統(tǒng)幾何運(yùn)用...但是實(shí)際上現(xiàn)實(shí)情況未必就適用于曲面空間,。

zhangzhengxin

東海fyh126 發(fā)表于 2012-3-16 20:21
" D& i; Z1 z0 i球面上的三角形就是如此。,。,。,。。,。,。。,。,。

' E) o4 O* B3 _+ h) ]3 n6 e* G; W球面上的三角形,，那就不是平面了啊,，那構(gòu)成這個(gè)三角形的三條線就不是直線了哦。

小花0324

生活中有很多有趣的數(shù)學(xué)問題,，,，,，這個(gè)以前讓我想半死也沒想出所以然，,，當(dāng)時(shí)老師告訴我,，其實(shí)很多定理都可以試著去推翻的。,�,？上а健�,。,。

豪哥0825

學(xué)無(wú)止境啊，要努力了,。雖然咱創(chuàng)造不出什么公理,，但是知識(shí)是絕對(duì)有用的

把刀用好

唉，牛角尖也不是這樣鉆的啊,。幾何里的任何單獨(dú)的點(diǎn),，線，形都是定義在同一個(gè)平面里的,。這是根,。拿彎曲的空間異形稱三角形來攻擊有關(guān)三角形的公式和定理是無(wú)理取鬧！當(dāng)然,，傳統(tǒng)幾何是無(wú)法真正定義這個(gè)空間異形的,，它不是什么形，也不是什么體,。也許要靠一種新的延伸學(xué)科來定性和研究了,。至于這么做有沒有意義，那就另當(dāng)別論了。

xiaoyetongxu

錢學(xué)森的數(shù)學(xué),，很厲害。久久發(fā)為什么沒繼續(xù)整空氣,，估計(jì)是他的數(shù)學(xué)能力,，不合適。
然后,，俺不懂曲線組成的角度是什么,，