你了解幾何嗎——稀奇古怪的三角形

掃街

在紙上畫三角形,，無論是怎樣畫，把三角形里面的3個角加起來,，都會等于 180度 即使是畫100個,、1000個，也絕對不會有一個例外,。有誰不信,，不妨動手畫上1萬個,，再用量角器去量一量�,！　∧敲�,，能不能找到一種三角形，它的內(nèi)角和不等于180度 呢,？
　　在200年前,，如果有誰提出了這樣一個問題，準(zhǔn)會有人對他嗤之以鼻："哼,，這也用問,，三角形的內(nèi)角和等于180度，這是幾何書中的一個定理,！"
/ Z" T6 m! [% h* `　　定理就是經(jīng)過邏輯推理證明是正確的數(shù)學(xué)結(jié)論,。如果有誰不信"邪"，仍要問一聲："這個定理就一定那么可靠嗎,？"那么,，人們就會搬來經(jīng)典著作《幾何原本》，翻開頭幾頁,，指著"第5公設(shè)"對他說："瞧,，這個定理的正確性可以由它來保證。"
　　公設(shè)也就是公理,，是一些最基本的數(shù)學(xué)結(jié)論,，它們的正確性經(jīng)過了實(shí)踐的反復(fù)證明，是不證自明的,。不朽名著《幾何原本》中的全部定理,，都建立在10個公理的基礎(chǔ)上。有誰敢懷疑"三角形的內(nèi)角和等于180度 "這個定理,，也就等于是懷疑第5公設(shè)有問題,。如果連公理也有問題，豈不是所有的幾何定理都值得懷疑了嗎,？
/ w( e/ H/ j" B0 O' Y6 {3 {' c　　第5公設(shè)也就是"平行公理"，它的意思是："在平面內(nèi),，過已知直線外的一個點(diǎn),，可以作而且只能作一條直線與已知直線相平行。"試試看,，過直線外的一個點(diǎn),，你能作出第2條平行線來嗎？
/ G) \3 `& v, r% z6 r4 X, c" b　　既然有第5公設(shè)作保證,，三角形的內(nèi)角和看來也就只好都等于180度 了,。
% k( c- O6 v9 j0 G( y+ `8 S　　不過,，數(shù)學(xué)家們對這個"第5公設(shè)"是不大滿意的。這倒不是懷疑它有什么錯誤,，而是覺得它不像其他的公理那樣一目了然,，很像是一個定理，于是試圖用其他的9個公理把它證明出來,，進(jìn)而將它從公理的行列中趕出去,。
　　《幾何原本》問世后的2000多年里，數(shù)學(xué)家傾注了無窮無盡的智慧,，始終也未能證明出第5公設(shè),。雖然有不少人曾宣稱解決了這個問題，但一檢查就發(fā)現(xiàn),，他們不是證明過程有錯誤,，就是用一個更不明顯的公理代替了第5公設(shè)。無可奈何之下,，大數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾稱它是"幾何學(xué)中的家丑",。
　　19世紀(jì)初，有個叫亞諾什·波里亞的匈牙利青年,，決定獻(xiàn)身于第5公設(shè)的研究,。他父親是個數(shù)學(xué)家，聽到這個消息給嚇壞了,。盡管父子倆天天生活在一起,，老波里亞為了鄭重其事，竟用筆給兒子寫了一封勸告信,。
% v6 F" k% l  v7 j+ |　　波里亞深知父親的苦惱和失望,，但他沒有知難而退，義無反顧地闖進(jìn)了這個"毫無希望的黑夜",。他很快就發(fā)現(xiàn),，只要改變第5公設(shè)，就可以創(chuàng)造出一種新的幾何學(xué)來,，于是提出了一個新的平行公理：
　　"在平面內(nèi),，過已知直線外的一個點(diǎn)，至少可以作兩條直線與已知直線相平行,。
( `1 o0 J& |: M  Y: e) W! ~　　這個新公理否定了平行線的唯一性,。以它為基礎(chǔ)，再加上原來的9個公理,，就組成了一門新的幾何學(xué),，叫雙曲幾何學(xué)。凡是與舊的平行公理有關(guān)的定理,，在雙曲幾何學(xué)中統(tǒng)統(tǒng)變得面目全非,，產(chǎn)生回許多聞所未聞的新結(jié)論,。例如，在雙曲幾何學(xué)中,，不存在矩形,，也不存在相似三角形。最有趣的是,，不同的三角形就有不同的內(nèi)角和,，而它們又都比180度 小,！
! w! {6 d7 ^" T  c+ V% }3 J+ R/ |　　能夠作出一種三角形,，使它的內(nèi)角和小于180度？對于習(xí)慣在傳統(tǒng)幾何的框框里生活的人來說,，這不啻是個"荒誕無稽"的海外奇談,。連老波里亞也無法理解兒子的創(chuàng)造，斷然拒絕了幫助發(fā)表的請求,，直到1832年,，由于兒子的再三請求，老波里亞才勉強(qiáng)同意將它作為一個附錄,，隨同自己的著作一起出版,。
& I9 c% f. O6 L6 M, }　　老波里亞與"數(shù)學(xué)王子"高斯是大學(xué)時代的同窗好友，他把"附錄"的清樣寄給高斯,，想聽聽這位數(shù)學(xué)權(quán)威的意見,。1832年3月，高斯在回信中熱情稱贊小波里亞"有極高的天才",，但同時又說,，他不便公開贊許，因?yàn)榉Q贊波里亞就等于稱贊他自己,。
& d1 v1 x! l; F4 g( I　　原來,，在此之前16年，高斯就已作出了同樣的發(fā)現(xiàn),。但他小心翼翼地隱藏了自己的研究,，唯恐這種新幾何學(xué)在直觀上的"荒誕無稽"而遭到人恥笑。
　　捍衛(wèi)真理是需要勇氣的,。
　　早在波里亞著作發(fā)表之前6年,，在遙遠(yuǎn)的俄羅斯大地上，已經(jīng)有位叫羅巴切夫斯基的勇士,，率先亮出了這門新幾何學(xué)的旗幟。
　　羅巴切夫斯基是一個偉大的俄國數(shù)學(xué)家,。他獨(dú)立地作出了同樣的發(fā)現(xiàn),，并為捍衛(wèi)新幾何學(xué)戰(zhàn)斗了一生,。當(dāng)時，數(shù)學(xué)家們不理解他,，認(rèn)為內(nèi)角和小于180度的三角形是一個"笑話",，有人嘲笑他是"對有學(xué)問的數(shù)學(xué)家的諷刺"。而一些仇視革命思想的人,，更是趁機(jī)對他進(jìn)行惡毒的攻擊和下流的謾罵,。這一切都沒有使羅巴切夫斯基退卻，他接二連三地發(fā)表數(shù)學(xué)著作,，甚至當(dāng)他已成為一個瞎眼老人時,，仍然念念不忘口授了一部《泛幾何學(xué)》，為這門新幾何學(xué)在數(shù)學(xué)王國里取得合理的地位而大聲疾呼,。由于羅巴切夫斯基最先昭示了新幾何學(xué)的誕生,，所以雙曲幾何學(xué)又叫羅氏幾何學(xué)。
　　羅巴切夫斯基,、波里亞和高斯,，用他們創(chuàng)造性的工作，動搖了"只能有一種可能的幾何"的傳統(tǒng)觀念,，為創(chuàng)造不同體系的幾何開辟了道路,。1854年，就在人們?nèi)栽诒г沽_氏幾何學(xué)"不可思議"時,，高斯的學(xué)生黎曼,，又給幾何王國增添了一種新的幾何學(xué)。
% F& j" J5 \: ~5 z6 [　　黎曼提出了另一種新的平行公理：
) i$ ^5 A8 f2 q7 z! V+ q9 A3 b8 ]　　"在平面上,，過已知直線外的一個點(diǎn),，不能作直線與已知直線相平行。"
　　這個新公理干脆否定了平行線的存在性,。以它為基礎(chǔ),，再加上原來的9個公理，就組成了橢圓幾何學(xué),，也叫黎曼幾何學(xué),。
' d! T8 P+ f2 T8 {% D8 H5 S　　在這種新的幾何學(xué)里，三角形的內(nèi)角和等于多少度呢,？有趣得很,，它既不等于180度 ，也不小于180度,，而是大于180度 ,。
6 k: y0 n# i( I. |( @3 H) {6 K　　黎曼幾何學(xué)中還有許多奇妙的結(jié)論，例如,，"直線的長是有限的,，但卻無止境,。"要弄懂這些理論非常困難。據(jù)說,，當(dāng)黎曼第一次宣讀這方面的論文時,，除了高斯以外，會場上竟找不出第二個能夠聽懂的人,。
- w- W7 t8 i& A% H$ X( O+ x% h　　羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)都是"純粹人造的"幾何學(xué),，與人們的常識相悖，乍看起來都顯得非常不可思議,。實(shí)際上,，它們比傳統(tǒng)的幾何學(xué)更加深刻地反映了現(xiàn)實(shí)世界的空間形式。舉一個最著名的例子：愛因斯坦創(chuàng)立的廣義相對論,，就是以黎曼幾何學(xué)的空間概念為基礎(chǔ)的,！根據(jù)相對論學(xué)說，現(xiàn)實(shí)空間會發(fā)生彎曲,，到處是新幾何學(xué)的用武之地,。
　　相傳高斯做過一次有趣的實(shí)驗(yàn)，他把相距很遠(yuǎn)的3座山峰,，看作是三角形的3個頂點(diǎn),，然后計算它的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)它竟大于180度 ,。這正是黎曼幾何學(xué)的結(jié)論,。也許有人會說："這不是一個三角形。因?yàn)樗�不在一個平面上,，而是在地球這個曲面上,！"那么，哪里去找平面呢,？運(yùn)動場是平面嗎,？池塘水面是平面嗎？它們都是地球這個曲面的一部分,。這樣,，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果沒有三角形,，怎么會有內(nèi)角和等于180度呢,？
　　羅氏幾何學(xué)與黎曼幾何學(xué)更精確地反映了現(xiàn)實(shí)空間，但是,，在我們的日常生活里,，傳統(tǒng)幾何學(xué)已經(jīng)足夠精確了。在我們的視野范圍內(nèi)，水平面是非常接近于平面的,。實(shí)際上,，我們也根本無法測出它的彎曲度,。這樣,，測量水面上一個三角形的內(nèi)角和，雖然它實(shí)際上并不等于180度,，我們卻無法測出它與真值之間的誤差,。所以，在我們身邊這個不大不小的空間里,，傳統(tǒng)的幾何學(xué)仍然是適用的,。
; A4 i4 \0 X0 a) U6 A5 Z! k& f" ~# Y% j　　因此，在紙上畫三角形,，無論是怎樣畫,，把它的3個內(nèi)角加起來，都會等于180度 ,。但我們也應(yīng)當(dāng)知道,，在數(shù)學(xué)王國里，確實(shí)還有一些"稀奇古怪"的三角形,，它的內(nèi)角和是不等于180度 的,。
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老飄

{:soso_e140:}原來我們的幾何是建立在一個不存在的基礎(chǔ)上的�,。�,？,？？

東海fyh126

球面上的三角形就是如此,。,。。,。,。。,。,。。,。

cncw252

數(shù)學(xué)補(bǔ)考兩次的表示一多半沒看懂

waiwai2008

很有意思....說的太對了...有些定理都沒有被證明就被傳統(tǒng)幾何運(yùn)用...但是實(shí)際上現(xiàn)實(shí)情況未必就適用于曲面空間,。

zhangzhengxin

東海fyh126 發(fā)表于 2012-3-16 20:21
6 ^; a! i# L5 u) O8 q2 P! o9 V球面上的三角形就是如此,。。,。,。。,。,。。,。,。

球面上的三角形，那就不是平面了啊,，那構(gòu)成這個三角形的三條線就不是直線了哦,。

小花0324

生活中有很多有趣的數(shù)學(xué)問題，，,，這個以前讓我想半死也沒想出所以然,，，當(dāng)時老師告訴我,，其實(shí)很多定理都可以試著去推翻的,。�,？上а�,。。,。

豪哥0825

學(xué)無止境啊，要努力了,。雖然咱創(chuàng)造不出什么公理,，但是知識是絕對有用的

把刀用好

唉，牛角尖也不是這樣鉆的啊,。幾何里的任何單獨(dú)的點(diǎn),，線，形都是定義在同一個平面里的,。這是根,。拿彎曲的空間異形稱三角形來攻擊有關(guān)三角形的公式和定理是無理取鬧！當(dāng)然,，傳統(tǒng)幾何是無法真正定義這個空間異形的,，它不是什么形，也不是什么體,。也許要靠一種新的延伸學(xué)科來定性和研究了,。至于這么做有沒有意義，那就另當(dāng)別論了,。

xiaoyetongxu

錢學(xué)森的數(shù)學(xué),，很厲害。久久發(fā)為什么沒繼續(xù)整空氣,，估計是他的數(shù)學(xué)能力,，不合適。
然后,，俺不懂曲線組成的角度是什么,，