本帖最后由 兩岸猿聲啼不住 于 2012-9-11 11:39 編輯 ! L. d1 |( m" b/ E! q
* A" C1 h, ~) I 說到這個話題，首先最好要明白,，這是屬于西方科學(xué)——數(shù)學(xué)范疇的問題,，既然屬于西方數(shù)學(xué)的范疇，那么你就得用它的思維方式和語言來談?wù)�,，而不能用日常生活的話語來談?wù)�,，大家說是不？研究唐詩宋詞你就得用古漢語,，研究俳句你就得融入日本文化,，那么探討這個0.9…與1的關(guān)系之類的問題，當(dāng)然就得用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言,，也就是行話,，大家說對吧？ 就我所知,，在西方數(shù)學(xué)中,，是有數(shù)系的說法的,。數(shù)系最簡單的是自然數(shù)系，就是從1,、2,、3……等一直數(shù)下去，繼而是“比例數(shù)”系,，這個比例數(shù)一定要強(qiáng)調(diào),，就是兩個自然數(shù)之比，現(xiàn)在的教材都翻譯為有理數(shù),，把人弄糊涂了,。其實(shí)好像數(shù)學(xué)天才陶哲軒也是主張翻譯成“比例數(shù)”的，因為本來比例數(shù)的定義就是“自然數(shù)/自然數(shù)”,，那么凡是不能用兩個自然數(shù)之比來表達(dá)的數(shù)比如√2,，就叫“非比例數(shù)”，這比什么有理數(shù)無理數(shù)清楚明白多了,。當(dāng)初我在學(xué)校學(xué)習(xí)這個有理數(shù)無理數(shù)的時候就納悶了,，既然都無理了，為什么還敢出來……搞不懂,，不敢問老師,，話說上學(xué)時有太多感覺不合常理的東西，都不敢問老師…… 那么回過頭來說,，這個0.9…到底是指什么呢,？是｛0.9, 0.99, 0.999, ...｝這個無窮序列，還是單純指一個數(shù),？在這里我傾向于后者,。實(shí)際上前者的形式只是為了讓人好理解而已，其目的是為了讓人明白無窮數(shù)列的極限并不包含在數(shù)列之中,。 有朋友說,，既然 0.1...＝1/9，那么 0.9... = 0.1... × 9 = 1/9 × 9 = 1,，是再明顯不過的了,，于是 0.9... = 1 得證。如果僅僅看結(jié)果而不看過程的話,，即使是再高明的大數(shù)學(xué)家,，對這個結(jié)果也會無話可說。但是話說回來,，如果我們是那種搞粗放種植的莊戶人,，我們就完全不必費(fèi)那么多心思，琢磨這種細(xì)枝末節(jié)的東西,，就一鋤一個坑,，然后把種子撒進(jìn)去,，敷上土拉倒。但是這個活卻不像種莊稼那么粗糙,，它就像制作機(jī)械表,。我感覺，設(shè)計農(nóng)用大馬力拖拉機(jī)的工程師,，如果不經(jīng)學(xué)習(xí),，應(yīng)該設(shè)計不了精密機(jī)械表，也就是說,，研究精密的東西,，你得思維也得要匹配，也得要精密細(xì)致起來,。 我們知道實(shí)數(shù)系里面有兩種數(shù),，一種是“比例數(shù)”，一種是“非比例數(shù)”,。那么0.9...到底是比例數(shù),，還是非比例數(shù)？我反正是找不到它的比例數(shù)表達(dá)式,，只好把它當(dāng)作非比例數(shù),。但是0.1...=1/9，卻是一個不折不扣的比例數(shù),，還有0.3...=1/3也是。這樣一來,，就能看出上面那個證明的錯誤所在了,。0.1...是比例數(shù),，9也是比例數(shù)，兩個比例數(shù)相乘，怎么就能得出非比例數(shù)0.9...呢,？所以那個證明，從分析的角度來看,，我覺得有點(diǎn)似是而非,。因為數(shù)學(xué)運(yùn)算除了六種基本代數(shù)運(yùn)算加減乘除乘方開方外，還有一種極限運(yùn)算即lim運(yùn)算,，而后者正是所謂高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),。說點(diǎn)題外話，高等數(shù)學(xué)這個名稱本身就拒人于千里之外,，好像是高等人才能學(xué)的一樣…… 要嚴(yán)格探討0.9...與1的關(guān)系,，就需要借助更深一層的數(shù)學(xué)思維。比方說,，實(shí)數(shù)的戴德金分割,，也就是數(shù)軸的分割,。在一條一維數(shù)軸上，不知道有多少數(shù),，但可以肯定的是,，每個數(shù)的兩邊都有數(shù)，且每兩個數(shù)之間都有無窮多個數(shù),，更讓粗思維的人困惑的是,，“我們無法寫出緊挨著一個數(shù)的另一個數(shù)”，這句話里面蘊(yùn)含著“連續(xù)性”的意思,。比方說,，緊挨著1的自然數(shù)是2，但緊挨著1的實(shí)數(shù)是多少,，是1.0...（無窮個0）1嗎,？在樓主看來，無窮這個詞跟無知是等價的……當(dāng)然這個問題在這里不做深入討論,。 我們把實(shí)數(shù)系即數(shù)軸做一個分割,，也就是分成兩部分，其中左邊的數(shù)都小于右邊的數(shù),，那么這個分割的界限,，根據(jù)其理論，要么是比例數(shù),，要么是非比例數(shù),。那么我們把數(shù)軸比方說分成(-∞, 1)與[1, +∞)兩部分，那么這個分割的界限就是比例數(shù)1,，且這個界限屬于右區(qū)間,，而不是左區(qū)間。這個時候,，不知道大家注意到?jīng)]有,，那就是在左區(qū)間，存在最大的數(shù)嗎,？這個最大的數(shù)是多少,，你能寫出來嗎？右區(qū)間最小的數(shù)是1,，可左區(qū)間最大的數(shù)是多少,？你在網(wǎng)上搜索到的這些問題的答案，都很讓人困惑,，包括樓主,。還有，就這個分割看來，應(yīng)該是包含了全部的實(shí)數(shù)了,，那么那個所謂的0.9...,，肯定也是被包含在其中了。那么它是被包含在左邊還是右邊呢,？顯而易見是在左邊,。那么它跟1之間到底相差多少呢？從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)來看,，相差一個無窮小,。那么為什么大家都說0.9...=1呢？而又有人說不相等呢,？因為從非標(biāo)準(zhǔn)分析的觀點(diǎn)看來,，相差一個無窮小的兩個數(shù)可以認(rèn)為是等價的。但對于普通人來講,，等價跟相等差別不大,，所以也可以認(rèn)為它們相等。就像y=x^2的導(dǎo)數(shù)或者說微分,，或者說微商或差商的極限,，嚴(yán)格來說，其表達(dá)式應(yīng)該是△y/△x=2x+o(x),，但是大家都默認(rèn)是y'=2x一樣,，二者只相差一個無窮小。所以有學(xué)者認(rèn)為微積分的精髓就是“略去高階無窮小”,。明白了這其中的因由,，你就能體會到那種從看山是山，到看山不是山,，到最后看山又是山的感覺了,。 說實(shí)話，我覺得對有志于補(bǔ)習(xí)一點(diǎn)微積分知識的初學(xué)者來說,，上面說的這些簡單的提綱，如果你能明白一些,，不知能給你節(jié)省多少時間,，而且還是徹底清楚明白的掌握微積分，而不是云里霧里,，只會查手冊套公式,，套起來心里還沒底。話說外行照抄答案都不一定能抄對,。當(dāng)然了,，在機(jī)械論壇里談這些東西，難免有賣弄的嫌疑,，但我是知無不言,，并且我把好多專業(yè)名詞術(shù)語給白話化了,，但也有好多話題沒有展開。因為我認(rèn)為思維無分貴賤,，很多時候并不是作者所談的東西人家不明白,，而是作者沒能說得人家能明白。當(dāng)然了,，如果真的一點(diǎn)兒基礎(chǔ)也沒有,，也真讓別人難為其說了。
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發(fā)表于 2012-9-11 11:36:45
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