球面漸開線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導出上面的公式,你能給我們上傳點資料我們理解了,當然我們就知道怎么用了,問題是不知道如何推導出這個公式

阿松

請懷疑我公式的正確性,！
0 G! p7 w2 P0 a0 \; A- Z; C) D小男孩,，我在6樓已經(jīng)答復過你在5樓提出的同樣的問題。

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導的,要是能有一本書詳細介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
大圓就是球的最大直徑，基圓是球上任一比大圓小的圓。
請想一下兩圓相切：可以想象基圓水平，大圓傾斜并與基圓相切,。
然后基圓不動,，大圓滾動。有點象呼啦圈掉到地上時的樣子,。
! L& |$ n( @/ p" e然后在某一個位子,，大圓上滾過的弧長等于基圓上的弧長。
( m( g/ _2 r3 W9 a然后構建幾何圖形,。
9 G5 S% t7 `4 O6 \2 c然后進行一步一步推導,。

我就是這樣推出來的,。相信你也能推出來，可能公式比我還要簡化,。

logxing

我正在驗證松版的公式
有一個疑問
4 }0 A) f( q: x按照這個極坐標系,，當R趨向無限大時，也就是普通漸開線時
* @- q, G6 ~# F' |6 c  i5 C方程將會變成什么樣子,？好像不能自然退化成普通漸開線的參數(shù)方程
' q: y* Q4 Z7 U+ r8 ]4 [松版有沒有其他坐標系的結果,？

阿松

當R為無窮大是，eta為pi/2,，
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
+ _+ W% w2 e; N  Q) E4 L( Ztan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運用羅比塔法則,，分子和分母分別求導，得alpha=atan(theta)
omega得0,，delta=theta-atan(theta),，這是標準的平面漸開線函數(shù)。

logxing

我主要是看見了你說
1 ?9 f" U! P' d  x/ k4 H# T* F$ n極坐標方程＝R,delta,omega
* y% U$ w1 Y5 n! [0 F那么當R趨向無窮大,，不論delta,omega變成什么
. g8 o% ~5 ~$ M" x5 T4 v+ s矢徑長度都會變成無窮大,，也就是不能變成普通漸開線
你的極坐標矢徑長度是R，說明你的極坐標原點是大圓圓心,，所以會出現(xiàn)這個問題
7 U. s! X3 [: E" K. C$ G/ {是不是我的理解有誤,？

我正在試著用矩陣推導，而且是直角坐標系,，因為我將來要用程序來驗證
8 W% f  q( K% W2 [) n6 r直角坐標系方便些,，出來結果我會貼出來

阿松

直角坐標方程如下：（還沒有化簡，要變成平面漸開線方程的話,，坐標原點要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述,，我先定義三個點,，在初始狀態(tài)小圓，大圓和一條直線相切于一點,，該點在小圓,，大圓和直線上分別對應A1,A2,A3三點，也就是說初始狀態(tài)三點是重合的,。然后大圓開始轉動,，小圓上的A1是固定的，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開線,，至于A3,，是起著重要的聯(lián)系作用。
  [( d7 e: q+ e0 G
4 S2 r$ J. E5 s4 W2 b+ M6 u5 o在1樓中
eta=acos(r/R)
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
也就是
  k; g9 j8 H$ z( u6 malpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
' D8 V- }9 d% z  M即
' L; v3 s8 }) walpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
  C0 d% B  H8 U/ W/ a% f* H- malpha是小圓平面內A3點的壓力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當成那段切線段長了（法線長）才會有上面的式子,。
" F) o% x) D" m! P$ ~) k$ e考慮這段切線段在大圓平面上的情形,，你是把r/R*theta當作大圓平面內A3的壓力角了，才會有上面的式子,。
這里的theta是小圓平面上A3點的展開角,，所以r/R*theta實際上是大圓平面內A3的展開角而不是壓力角，這個地方錯了,。
" F" C3 U* J2 G0 a不知道我對alpha,，theta的定義理解是否有誤。
+ M& g6 e% G* v- L  {, S2 R我已經(jīng)推導了直角坐標系的方程,，是以小圓平面為xy平面,，小圓圓心為坐標中心的右手系。還沒有驗證,，不過可以自然退化到平面漸開線方程,。因為與你18樓的形式差別比較大，還沒有證明是不是等效的,。下面我打算做個程序驗證一下,，然后再拿上來大家討論。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時間來考慮這個問題,。謝謝
我不明白A1,A2,A3如何相對運動,，初始位置3點重合，然后是不是阿A3保持為切點,？

& `( F8 C3 I3 c9 Y我來說說我的思路：theta是小園的展開角,，然后通過它算大圓的展開角。（我的資料沒在身邊）alpha 可能是大園的展開角,。然后通過它們算矢徑與各平面的夾角,。

如果你能通過CAD軟件驗證你的公式的話，我們的公式應該是相同的,。至少可以轉化成相同的,。