球面漸開線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導(dǎo)出上面的公式,你能給我們上傳點(diǎn)資料我們理解了,當(dāng)然我們就知道怎么用了,問題是不知道如何推導(dǎo)出這個(gè)公式

阿松

請懷疑我公式的正確性,！
9 z2 ~+ o  X$ j7 [' p小男孩，我在6樓已經(jīng)答復(fù)過你在5樓提出的同樣的問題,。

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導(dǎo)的,要是能有一本書詳細(xì)介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
6 U2 w# w$ {& V  q大圓就是球的最大直徑,，基圓是球上任一比大圓小的圓。
請想一下兩圓相切：可以想象基圓水平,，大圓傾斜并與基圓相切。
然后基圓不動,，大圓滾動,。有點(diǎn)象呼啦圈掉到地上時(shí)的樣子。
然后在某一個(gè)位子,，大圓上滾過的弧長等于基圓上的弧長,。
然后構(gòu)建幾何圖形。
% E: }7 U3 A1 N然后進(jìn)行一步一步推導(dǎo),。
3 Q3 k  G- ]1 r0 K# Z5 ^
/ T1 j$ a- P7 W$ K" q3 B/ V我就是這樣推出來的,。相信你也能推出來,，可能公式比我還要簡化。

logxing

我正在驗(yàn)證松版的公式
: |4 X2 \" b; P* A# x有一個(gè)疑問
* O1 t. W0 d+ I5 N按照這個(gè)極坐標(biāo)系,，當(dāng)R趨向無限大時(shí),，也就是普通漸開線時(shí)
方程將會變成什么樣子？好像不能自然退化成普通漸開線的參數(shù)方程
松版有沒有其他坐標(biāo)系的結(jié)果,？

阿松

當(dāng)R為無窮大是,，eta為pi/2，
3 W! v7 |" [$ r& malpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
5 M0 r& z2 M; ~) b5 B, ^/ c, }! etan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運(yùn)用羅比塔法則,，分子和分母分別求導(dǎo),，得alpha=atan(theta)
6 t1 S7 [8 F( F9 vomega得0，delta=theta-atan(theta),，這是標(biāo)準(zhǔn)的平面漸開線函數(shù),。

logxing

我主要是看見了你說
4 y) [1 |% i; u極坐標(biāo)方程＝R,delta,omega
那么當(dāng)R趨向無窮大，不論delta,omega變成什么
! S0 D0 a  k. u- E/ \/ C" k矢徑長度都會變成無窮大,，也就是不能變成普通漸開線
" r8 k, |8 `) N7 y你的極坐標(biāo)矢徑長度是R,，說明你的極坐標(biāo)原點(diǎn)是大圓圓心，所以會出現(xiàn)這個(gè)問題
是不是我的理解有誤,？
0 o  k9 x/ j7 S5 E" `5 P
我正在試著用矩陣推導(dǎo),，而且是直角坐標(biāo)系，因?yàn)槲覍�來要用程序來�?yàn)證
直角坐標(biāo)系方便些,，出來結(jié)果我會貼出來

阿松

直角坐標(biāo)方程如下：（還沒有化簡,，要變成平面漸開線方程的話，坐標(biāo)原點(diǎn)要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述，我先定義三個(gè)點(diǎn),，在初始狀態(tài)小圓,，大圓和一條直線相切于一點(diǎn)，該點(diǎn)在小圓,，大圓和直線上分別對應(yīng)A1,A2,A3三點(diǎn),，也就是說初始狀態(tài)三點(diǎn)是重合的。然后大圓開始轉(zhuǎn)動,，小圓上的A1是固定的,，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開線，至于A3,，是起著重要的聯(lián)系作用,。

( P5 b2 T* c, l  i  |7 c6 l+ W4 i在1樓中
8 X& V$ y5 C; i4 k( _eta=acos(r/R)
3 J- p( H& J2 Z/ xalpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
( u; l5 C4 y  b. z7 s! S也就是
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
( g  {, \3 K+ s% \8 N8 ~5 O3 S即
alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
alpha是小圓平面內(nèi)A3點(diǎn)的壓力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當(dāng)成那段切線段長了（法線長）才會有上面的式子。
6 V1 F8 @1 ^% U% A0 t( z考慮這段切線段在大圓平面上的情形,，你是把r/R*theta當(dāng)作大圓平面內(nèi)A3的壓力角了,，才會有上面的式子。
* s- s$ b. w: Z這里的theta是小圓平面上A3點(diǎn)的展開角,，所以r/R*theta實(shí)際上是大圓平面內(nèi)A3的展開角而不是壓力角,，這個(gè)地方錯(cuò)了。
9 n8 t" K3 k: V% u9 ?1 e8 Q不知道我對alpha,，theta的定義理解是否有誤,。
" e4 d# R" a0 O; K2 s; N2 J! c我已經(jīng)推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系的方程，是以小圓平面為xy平面,，小圓圓心為坐標(biāo)中心的右手系,。還沒有驗(yàn)證，不過可以自然退化到平面漸開線方程,。因?yàn)榕c你18樓的形式差別比較大,，還沒有證明是不是等效的。下面我打算做個(gè)程序驗(yàn)證一下,，然后再拿上來大家討論,。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時(shí)間來考慮這個(gè)問題。謝謝
我不明白A1,A2,A3如何相對運(yùn)動,，初始位置3點(diǎn)重合,，然后是不是阿A3保持為切點(diǎn)？
% b" C( w6 w$ k% x& Z
0 w1 f/ m7 R" M* A& b( @% S/ y我來說說我的思路：theta是小園的展開角,，然后通過它算大圓的展開角,。（我的資料沒在身邊）alpha 可能是大園的展開角。然后通過它們算矢徑與各平面的夾角,。
" }$ X6 x# l0 n( \: V( h! i, \
# G8 k* y, l( f* b' L3 E/ j1 J如果你能通過CAD軟件驗(yàn)證你的公式的話,，我們的公式應(yīng)該是相同的。至少可以轉(zhuǎn)化成相同的,。