球面漸開線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導(dǎo)出上面的公式,你能給我們上傳點資料我們理解了,當(dāng)然我們就知道怎么用了,問題是不知道如何推導(dǎo)出這個公式

阿松

請懷疑我公式的正確性！
3 `" u- @: ]7 k. u" r+ c% b小男孩,，我在6樓已經(jīng)答復(fù)過你在5樓提出的同樣的問題,。
& G" \9 w& H) J  r1 y" f

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導(dǎo)的,要是能有一本書詳細(xì)介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
+ U6 I# W7 Z% {4 d6 a" ^2 b大圓就是球的最大直徑，基圓是球上任一比大圓小的圓,。
請想一下兩圓相切：可以想象基圓水平,，大圓傾斜并與基圓相切。
然后基圓不動,，大圓滾動,。有點象呼啦圈掉到地上時的樣子。
然后在某一個位子,，大圓上滾過的弧長等于基圓上的弧長,。
然后構(gòu)建幾何圖形。
4 a# u0 s" D  B6 a+ d! f. ]5 ~然后進(jìn)行一步一步推導(dǎo),。

+ g3 z+ g" g! D  S5 K/ _3 M% T) b我就是這樣推出來的,。相信你也能推出來，可能公式比我還要簡化,。

logxing

我正在驗證松版的公式
有一個疑問
按照這個極坐標(biāo)系,，當(dāng)R趨向無限大時，也就是普通漸開線時
方程將會變成什么樣子,？好像不能自然退化成普通漸開線的參數(shù)方程
松版有沒有其他坐標(biāo)系的結(jié)果,？

阿松

當(dāng)R為無窮大是，eta為pi/2,，
& Y  m# u- _6 |' ?* I" N2 ialpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
tan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運用羅比塔法則,，分子和分母分別求導(dǎo),，得alpha=atan(theta)
, m2 K. {7 z% u/ r: ^" Q4 Aomega得0，delta=theta-atan(theta),，這是標(biāo)準(zhǔn)的平面漸開線函數(shù),。

logxing

我主要是看見了你說
極坐標(biāo)方程＝R,delta,omega
那么當(dāng)R趨向無窮大，不論delta,omega變成什么
0 z6 Y- s' {0 @) [, i: N, S矢徑長度都會變成無窮大,，也就是不能變成普通漸開線
你的極坐標(biāo)矢徑長度是R,，說明你的極坐標(biāo)原點是大圓圓心，所以會出現(xiàn)這個問題
是不是我的理解有誤,？
/ {7 ]  Q0 {: |3 n1 D
4 x# V7 f1 O& a, y/ V% s# ?我正在試著用矩陣推導(dǎo),，而且是直角坐標(biāo)系，因為我將來要用程序來驗證
# C# r) b9 C% D1 |& a直角坐標(biāo)系方便些,，出來結(jié)果我會貼出來

阿松

直角坐標(biāo)方程如下：（還沒有化簡,，要變成平面漸開線方程的話，坐標(biāo)原點要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述，我先定義三個點,，在初始狀態(tài)小圓,，大圓和一條直線相切于一點，該點在小圓,，大圓和直線上分別對應(yīng)A1,A2,A3三點,，也就是說初始狀態(tài)三點是重合的。然后大圓開始轉(zhuǎn)動,，小圓上的A1是固定的,，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開線，至于A3,，是起著重要的聯(lián)系作用,。
8 ?' f# c6 [/ A, ^0 Y
# ^5 F& ]/ D' G  Q在1樓中
eta=acos(r/R)
. i( B: D" `- N' _alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
) C4 }" ]2 O7 P也就是
; d5 `. |6 a0 J7 r+ }0 C8 Balpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
即
alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
4 S: I9 A( D7 W' z: ~alpha是小圓平面內(nèi)A3點的壓力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當(dāng)成那段切線段長了（法線長）才會有上面的式子,。
考慮這段切線段在大圓平面上的情形,，你是把r/R*theta當(dāng)作大圓平面內(nèi)A3的壓力角了，才會有上面的式子,。
這里的theta是小圓平面上A3點的展開角,，所以r/R*theta實際上是大圓平面內(nèi)A3的展開角而不是壓力角，這個地方錯了,。
: g1 ~3 z5 w& f8 y不知道我對alpha,，theta的定義理解是否有誤。
我已經(jīng)推導(dǎo)了直角坐標(biāo)系的方程,，是以小圓平面為xy平面,，小圓圓心為坐標(biāo)中心的右手系,。還沒有驗證，不過可以自然退化到平面漸開線方程,。因為與你18樓的形式差別比較大,，還沒有證明是不是等效的。下面我打算做個程序驗證一下,，然后再拿上來大家討論,。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時間來考慮這個問題。謝謝
) K6 {# r4 A/ i( J! N' @! Y我不明白A1,A2,A3如何相對運動,，初始位置3點重合,，然后是不是阿A3保持為切點？
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我來說說我的思路：theta是小園的展開角,，然后通過它算大圓的展開角。（我的資料沒在身邊）alpha 可能是大園的展開角,。然后通過它們算矢徑與各平面的夾角,。

如果你能通過CAD軟件驗證你的公式的話，我們的公式應(yīng)該是相同的,。至少可以轉(zhuǎn)化成相同的,。