球面漸開線方程的理解

YPFENG

樓主我們并沒有懷疑你的公式的正確與否,我們只是不知道你是如何如何推導出上面的公式,你能給我們上傳點資料我們理解了,當然我們就知道怎么用了,問題是不知道如何推導出這個公式

阿松

請懷疑我公式的正確性！
+ C. b( o7 `& a) K8 F; E% O) U; Q小男孩,，我在6樓已經(jīng)答復過你在5樓提出的同樣的問題,。
- K8 o: g- I! W; A+ J6 j8 v. r

YPFENG

原理我也知道但是不知道具體是怎么推導的,要是能有一本書詳細介紹一下那就太好了

阿松

那我給你一些提示：
大圓就是球的最大直徑，基圓是球上任一比大圓小的圓,。
請想一下兩圓相切：可以想象基圓水平,，大圓傾斜并與基圓相切。
! m  D$ e7 a8 f# B. Z' t3 E5 J+ K然后基圓不動,，大圓滾動,。有點象呼啦圈掉到地上時的樣子。
7 x' f1 k; G8 N8 s7 ^5 l然后在某一個位子,，大圓上滾過的弧長等于基圓上的弧長,。
8 I2 \9 T- K3 X6 ~" w" H# K然后構(gòu)建幾何圖形。
8 l: {2 H7 [) u6 u# `然后進行一步一步推導。

& R+ H6 z2 s9 T- H& \1 ~我就是這樣推出來的,。相信你也能推出來,，可能公式比我還要簡化。

logxing

我正在驗證松版的公式
有一個疑問
$ i# {3 z" F. L0 P0 O按照這個極坐標系,，當R趨向無限大時,，也就是普通漸開線時
方程將會變成什么樣子？好像不能自然退化成普通漸開線的參數(shù)方程
松版有沒有其他坐標系的結(jié)果,？

阿松

當R為無窮大是,，eta為pi/2，
6 W. c0 A* [9 U3 s& s/ `alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
+ w, Q: U! D$ i1 M/ ktan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均為0,運用羅比塔法則,，分子和分母分別求導,，得alpha=atan(theta)
% q# \2 `0 I5 o8 C, }0 q$ jomega得0，delta=theta-atan(theta),，這是標準的平面漸開線函數(shù),。

logxing

我主要是看見了你說
極坐標方程＝R,delta,omega
那么當R趨向無窮大，不論delta,omega變成什么
7 X$ {/ C* E( |矢徑長度都會變成無窮大,，也就是不能變成普通漸開線
你的極坐標矢徑長度是R,，說明你的極坐標原點是大圓圓心，所以會出現(xiàn)這個問題
0 o& f! ?5 k8 x1 y, T3 ?3 |是不是我的理解有誤,？
3 c% E1 v7 I- n: k( N
3 D4 L# U" W7 a我正在試著用矩陣推導,，而且是直角坐標系,，因為我將來要用程序來驗證
8 I, V" \% u9 D6 ?1 h( K1 u8 b直角坐標系方便些,，出來結(jié)果我會貼出來

阿松

直角坐標方程如下：（還沒有化簡，要變成平面漸開線方程的話,，坐標原點要延z軸下移R)

logxing

為了方便敘述,，我先定義三個點,，在初始狀態(tài)小圓，大圓和一條直線相切于一點,，該點在小圓,，大圓和直線上分別對應A1,A2,A3三點，也就是說初始狀態(tài)三點是重合的,。然后大圓開始轉(zhuǎn)動,，小圓上的A1是固定的，A2的軌跡就是我們想要的球面漸開線,，至于A3,，是起著重要的聯(lián)系作用。
6 {4 S0 v' n6 b" o
在1樓中
" y. K/ e  p9 _+ v7 i; Keta=acos(r/R)
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
也就是
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
! \+ x7 ?% L) p8 G# b5 a即
alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
4 g0 N+ a! |" _- V% L" o. Ialpha是小圓平面內(nèi)A3點的壓力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R當成那段切線段長了（法線長）才會有上面的式子,。
: T& n  x6 B2 y6 q/ D: W. @* s6 ^' x考慮這段切線段在大圓平面上的情形,，你是把r/R*theta當作大圓平面內(nèi)A3的壓力角了，才會有上面的式子,。
5 U/ n0 l* |5 v8 U8 R' w, ~0 J這里的theta是小圓平面上A3點的展開角,，所以r/R*theta實際上是大圓平面內(nèi)A3的展開角而不是壓力角，這個地方錯了,。
不知道我對alpha,，theta的定義理解是否有誤。
4 Z* p# x* N9 n3 P: n我已經(jīng)推導了直角坐標系的方程,，是以小圓平面為xy平面,，小圓圓心為坐標中心的右手系。還沒有驗證,，不過可以自然退化到平面漸開線方程,。因為與你18樓的形式差別比較大，還沒有證明是不是等效的,。下面我打算做個程序驗證一下,，然后再拿上來大家討論。

阿松

首先非常高興你能夠和我一起花時間來考慮這個問題,。謝謝
5 N  @4 E1 N+ R0 F0 R我不明白A1,A2,A3如何相對運動,，初始位置3點重合，然后是不是阿A3保持為切點,？

4 @# `6 \# R0 Z4 v我來說說我的思路：theta是小園的展開角,，然后通過它算大圓的展開角。（我的資料沒在身邊）alpha 可能是大園的展開角,。然后通過它們算矢徑與各平面的夾角,。

如果你能通過CAD軟件驗證你的公式的話，我們的公式應該是相同的,。至少可以轉(zhuǎn)化成相同的,。