關(guān)于極限和連續(xù)的兩個(gè)數(shù)學(xué)問題

鬼魅道長(zhǎng) · 發(fā)表于 2011-4-20 18:50:41

今天一哥們聊天時(shí)說起,，很有趣,，大家也來試試：

1.青蛙跳井：
一個(gè)青蛙在井底，想要跳出去,，假設(shè)永遠(yuǎn)不會(huì)向下滑,，它每次跳高的距離都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒鐘,，那么青蛙能不能跳出井,？

2.阿基琉斯追不上烏龜：
芝諾說，如果阿基琉斯落在烏龜后面,，同時(shí)起動(dòng),，那么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)初始時(shí)，阿基琉斯在A點(diǎn),，烏龜在B1點(diǎn),，經(jīng)過了t1的時(shí)間，阿基琉斯到達(dá)了B1,，但同樣的,，烏龜用t1的時(shí)間到達(dá)了B2，而當(dāng)阿基琉斯用t2的時(shí)間到達(dá)了B2時(shí),，烏龜又用t2的時(shí)間到達(dá)了B3,，而阿基琉斯到達(dá)B3時(shí)，烏龜又到了B4,，如此往復(fù),，那么阿基琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜。

對(duì)第一個(gè)問題,，所有的人都說“永遠(yuǎn)跳不出去”,，而對(duì)第二個(gè)問題，則說“肯定追得上,，因?yàn)槭聦?shí)就是這樣”,。

于是那哥們問，為什么兩個(gè)類似的問題,，答案不一樣,？數(shù)學(xué)依據(jù)是什么？

最后大家還是用數(shù)學(xué)模型把這個(gè)事了了,，不過過程實(shí)在很有趣,，社友們也來試試吧。

閑人一個(gè)OO · 發(fā)表于 2011-4-20 20:09:37

第二個(gè)問題我上馬克思時(shí)老師拿來當(dāng)例子講的,，這個(gè)問題邏輯上很難搞定的

高進(jìn) · 發(fā)表于 2011-4-20 20:37:19

這個(gè)問題我也想過,，為什么呢追不上呢？我想是由于這個(gè)時(shí)間永遠(yuǎn)不能過度到下一秒,，越來越小

無能 · 發(fā)表于 2011-4-20 20:48:01

本帖最后由無能于 2011-4-20 21:47 編輯

回復(fù) 長(zhǎng)驅(qū)鬼魅的帖子

第一條敝人看錯(cuò)了,，答案請(qǐng)見下面有大俠給出。
第二個(gè)問題本身就沒有描述清楚,。一般來說,，如果能把問題很清楚的描述出來，那么答案基本上就出來了,。
我認(rèn)為,，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果換一種描述,，就不會(huì)出現(xiàn)悖論,，因?yàn)殂Ｕ撌紫染鸵呀?jīng)確定是錯(cuò)誤的了，只是因?yàn)槊枋錾吓耸址ú抛屓丝此普_,。
沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎(chǔ)問題,，佩服！

jsj306 · 發(fā)表于 2011-4-20 21:05:31

本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 編輯

第二種情況僅僅是計(jì)算上趨于無窮，實(shí)際上阿克琉斯不會(huì)按芝諾的算法來跑,，一步兩步就跨出去了,，芝諾的算法僅僅是對(duì)這一步兩步（或者這一步兩步所用的時(shí)間）做細(xì)分，這就涉及到距離或時(shí)間是否無限可分的問題了

第一種情況就是按芝諾的算法來跑了,，他算一步,，青蛙就跳一步，按他這個(gè)算法永遠(yuǎn)算不完,，那青蛙也就永遠(yuǎn)跳不出去

螺旋線 · 發(fā)表于 2011-4-20 21:10:26

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢,？

無能 · 發(fā)表于 2011-4-20 21:24:43

回復(fù) jsj306 的帖子

這是“潛無窮”論者與“實(shí)無窮”論者的爭(zhēng)論,。
潛無窮論者認(rèn)為，世界上沒有真正無窮的東西,，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動(dòng)作,，這個(gè)動(dòng)作永遠(yuǎn)在進(jìn)行中，永遠(yuǎn)沒有終止,。
但實(shí)無窮論者認(rèn)為,，無窮是存在的，存在著“一下子就完成”的無窮,，而非像前者那樣的永遠(yuǎn)無法完成,。

能體現(xiàn)這兩個(gè)無窮爭(zhēng)論的例子是：你從點(diǎn)0到點(diǎn)1，無論如何你要經(jīng)過它們的中點(diǎn),，就是0.5,；而你要到達(dá)0.5，也必須先到達(dá)它們的中點(diǎn)即0.25……如此進(jìn)行下去,，由于這些中點(diǎn)是無窮的,，所以你永遠(yuǎn)無法從0點(diǎn)到達(dá)1點(diǎn)。
實(shí)際這就是區(qū)間(0,1)的稠密性,，也就是敝貼曾經(jīng)提到過的,，這個(gè)區(qū)間是連續(xù)統(tǒng)的精髓。

你永遠(yuǎn)無法從點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)1,，是潛無窮論者的論點(diǎn),，但是我們明明可以一步就從0到1，所以實(shí)無窮是存在的,，證畢,。
集合論是承認(rèn)“實(shí)無窮”的存在的。

根據(jù)我的研究發(fā)現(xiàn),，“實(shí)無窮”的論點(diǎn)直接就導(dǎo)致“不可知論”,。

metalstorm · 發(fā)表于 2011-4-20 21:35:02

本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 編輯

問題一：青蛙是跳不出井的,，只能無限接近一個(gè)極限高度,，這個(gè)極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數(shù)列的求和極限。

問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜,，但永遠(yuǎn)追不上，阿基琉斯的速度一直在變慢,。請(qǐng)教樓主這個(gè)數(shù)學(xué)模型是什么,？

無能 · 發(fā)表于 2011-4-20 22:29:11

回復(fù) metalstorm 的帖子

第二題,，我讀題發(fā)現(xiàn)龜兔是各跑各的，并且并未說明B3一定在B4后面,。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點(diǎn),。

無能 · 發(fā)表于 2011-4-20 22:48:50

本帖最后由無能于 2011-4-20 22:50 編輯

回復(fù) 螺旋線的帖子

看來以己昏昏,，還是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限,，即 n->∞ 時(shí) lim (1-1/10^n) = 1,。
0.9' 無限趨近于 1，但它不等于 1,。
歡迎繼續(xù)提出異議,。

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