關(guān)于極限和連續(xù)的兩個數(shù)學(xué)問題

鬼魅道長

今天一哥們聊天時說起,，很有趣,，大家也來試試：
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# z8 ^/ j# ^; i* Q1.青蛙跳井：
' F) g% s6 l- j& i- _- D  r   一個青蛙在井底,，想要跳出去,，假設(shè)永遠(yuǎn)不會向下滑，它每次跳高的距離都是上一次的一半,，而且每跳一次都要休息一秒鐘,，那么青蛙能不能跳出井？
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% Y* B2 R. w# }- l& v2.阿基琉斯追不上烏龜：
* A! K( U6 A* u; Y  芝諾說,，如果阿基琉斯落在烏龜后面,，同時起動，那么會出現(xiàn)這樣的情況：假設(shè)初始時,，阿基琉斯在A點(diǎn)，烏龜在B1點(diǎn),，經(jīng)過了t1的時間,，阿基琉斯到達(dá)了B1，但同樣的,，烏龜用t1的時間到達(dá)了B2,，而當(dāng)阿基琉斯用t2的時間到達(dá)了B2時，烏龜又用t2的時間到達(dá)了B3,，而阿基琉斯到達(dá)B3時,，烏龜又到了B4，如此往復(fù),，那么阿基琉斯就永遠(yuǎn)追不上烏龜,。
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9 J  Z" s  L; X7 a
對第一個問題，所有的人都說“永遠(yuǎn)跳不出去”,，而對第二個問題,，則說“肯定追得上，因?yàn)槭聦?shí)就是這樣”,。
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于是那哥們問,，為什么兩個類似的問題，答案不一樣,？數(shù)學(xué)依據(jù)是什么,？

最后大家還是用數(shù)學(xué)模型把這個事了了，不過過程實(shí)在很有趣，社友們也來試試吧,。
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閑人一個OO

第二個問題我上馬克思時老師拿來當(dāng)例子講的,，這個問題邏輯上很難搞定的

高進(jìn)

這個問題我也想過，為什么呢追不上呢,？我想是由于這個時間永遠(yuǎn)不能過度到下一秒,，越來越小

無能

+ M  v5 C# i7 r5 r1 \) t+ ~9 G回復(fù) 長驅(qū)鬼魅 的帖子

! g4 |! I, Q5 a' a( ^* L第一條敝人看錯了，答案請見下面有大俠給出,。
第二個問題本身就沒有描述清楚,。一般來說，如果能把問題很清楚的描述出來,，那么答案基本上就出來了,。
我認(rèn)為，芝諾悖論是在描述上首先就把人弄糊涂了,，如果換一種描述,，就不會出現(xiàn)悖論，因?yàn)殂Ｕ撌紫染鸵呀?jīng)確定是錯誤的了,，只是因?yàn)槊枋錾吓�了手法才讓人看似正確,。
5 i4 |8 U& |" o4 v1 y, d沒想到兄弟有雅興鉆研微積分的基礎(chǔ)問題，佩服,！
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jsj306

9 E, U) x; ^* u
第二種情況僅僅是計(jì)算上趨于無窮,，實(shí)際上阿克琉斯不會按芝諾的算法來跑,，一步兩步就跨出去了，芝諾的算法僅僅是對這一步兩步（或者這一步兩步所用的時間）做細(xì)分,，這就涉及到距離或時間是否無限可分的問題了
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7 R- @) h/ F: m8 ?" D第一種情況就是按芝諾的算法來跑了,，他算一步，青蛙就跳一步,，按他這個算法永遠(yuǎn)算不完,，那青蛙也就永遠(yuǎn)跳不出去

螺旋線

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？

無能

回復(fù) jsj306 的帖子

這是“潛無窮”論者與“實(shí)無窮”論者的爭論。
潛無窮論者認(rèn)為,，世界上沒有真正無窮的東西,，所謂的無窮不過是描述一步接一步的動作，這個動作永遠(yuǎn)在進(jìn)行中,，永遠(yuǎn)沒有終止,。
1 f1 L3 E2 M/ v3 b1 s但實(shí)無窮論者認(rèn)為，無窮是存在的,，存在著“一下子就完成”的無窮,，而非像前者那樣的永遠(yuǎn)無法完成。
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能體現(xiàn)這兩個無窮爭論的例子是：你從點(diǎn)0到點(diǎn)1,，無論如何你要經(jīng)過它們的中點(diǎn),，就是0.5；而你要到達(dá)0.5,，也必須先到達(dá)它們的中點(diǎn)即0.25……如此進(jìn)行下去，由于這些中點(diǎn)是無窮的,，所以你永遠(yuǎn)無法從0點(diǎn)到達(dá)1點(diǎn),。
實(shí)際這就是區(qū)間(0,1)的稠密性，也就是敝貼曾經(jīng)提到過的,，這個區(qū)間是連續(xù)統(tǒng)的精髓,。
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你永遠(yuǎn)無法從點(diǎn)0到達(dá)點(diǎn)1，是潛無窮論者的論點(diǎn),，但是我們明明可以一步就從0到1,，所以實(shí)無窮是存在的，證畢,。
9 G& j* V5 P! v) Y集合論是承認(rèn)“實(shí)無窮”的存在的,。

7 H3 X2 \) \& @# d6 V' X根據(jù)我的研究發(fā)現(xiàn)，“實(shí)無窮”的論點(diǎn)直接就導(dǎo)致“不可知論”,。
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metalstorm

% q) u. s, ~6 d. k. @, X) u! a
問題一：青蛙是跳不出井的，只能無限接近一個極限高度,，這個極限高度等于第一跳的距離乘以如下等比數(shù)列的求和極限,。

. t$ R4 |, ?) L" I4 |問題二：阿基琉斯只能無限接近烏龜，但永遠(yuǎn)追不上,，阿基琉斯的速度一直在變慢,。請教樓主這個數(shù)學(xué)模型是什么？
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無能

回復(fù) metalstorm 的帖子



4 x$ ~( T) |# H7 _第二題，我讀題發(fā)現(xiàn)龜兔是各跑各的,，并且并未說明B3一定在B4后面,。不知道原題是不是想說兔子每次都要跑到二者距離的中點(diǎn)。
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無能

# K. H! M0 J3 s
回復(fù) 螺旋線 的帖子
1 V) M' `6 Z  o6 c! J
( C7 L# R& e& d% R+ k: K, l看來以己昏昏，還是不能使人昭昭啊,，哈哈哈…
只能說 1 是無窮序列 0.9' 的極限,，即 n->∞ 時 lim (1-1/10^n) = 1。
  Z! ]& Z8 R4 U: a7 b0.9' 無限趨近于 1,，但它不等于 1,。
0 z% {( o7 L0 l歡迎繼續(xù)提出異議。