4. 將記錄的數(shù)值輸入系統(tǒng)之內(nèi),，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)生成X軸Z向的直線度誤差（圖2）
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圖1 X軸Z向直線度檢測(cè)示意圖
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圖2 檢驗(yàn)結(jié)果樣例
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問題的提出：
5 o6 `; O* B6 C: h, n; B# p' m公司規(guī)定的該處直線度誤差應(yīng)為11μm之內(nèi),，據(jù)車間及工藝反映：，自從該機(jī)型量產(chǎn)后的幾十臺(tái)檢驗(yàn)結(jié)果,，該處直線度誤差一直在超差邊緣,，機(jī)械調(diào)整非常困難，公司內(nèi)部不允許在工廠階段進(jìn)行軟件優(yōu)化補(bǔ)償,，因?yàn)楝F(xiàn)在我主管該產(chǎn)品了,，恰好之前按照總部的要求將導(dǎo)軌及絲杠都做了優(yōu)化改進(jìn)，鑄件也都做了更改,，超差的兩臺(tái)機(jī)器正好是前兩臺(tái)樣機(jī),，于是質(zhì)量部門召開了一次會(huì)議，要求從機(jī)械上想辦法對(duì)該問題做出一些分析,，并提出改進(jìn)的辦法,。
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解決問題的思路： a/ Z8 f# Y/ Q: s* o* H
聯(lián)想到該機(jī)床的基本結(jié)構(gòu),，立柱中間為了放置轉(zhuǎn)臺(tái)開了一個(gè)很大的口子，這必然影響到整個(gè)機(jī)床在此處的剛性,，反映到上面提到的x軸z方向直線度便是兩側(cè)高而中間低的情況,，這在軟件上也非常清楚的顯示了出來（圖3），解決的辦法就是在立柱的導(dǎo)軌上加工出一個(gè)中凸的曲線來抵消重力對(duì)直線度的影響,。
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圖3 直線度誤差曲線圖
G. A% H9 p& O% M& a/ y+ P4 Q* c問題的一般化：4 i6 N* f. Q4 V5 h7 G
我的雄心絕不僅僅是隨便給出一個(gè)結(jié)果這么簡(jiǎn)單,，我想把這個(gè)問題更加一般化:
L6 J, L4 |6 L+ I( V1 i! F1.如何根據(jù)輸入的幾個(gè)點(diǎn)求整條軸的直線度?
& P. |* m6 {. Z' d7 q" U3 K4 D2.如果該直線度的走向有規(guī)律可循，如何找到該規(guī)律,？換言之,，該直線度的走向能否被一條曲線擬合，如果能,，那曲線的方程應(yīng)該是什么,？
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3.如果我手上有幾十臺(tái)該直線度的檢測(cè)數(shù)據(jù)，我如何來求得最適合的一條擬合曲線,？
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4.如何求得3中提出來的擬合曲線的補(bǔ)償曲線,？
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5.補(bǔ)償曲線求好后，如何反推其正確性（通過已有的機(jī)床直線度數(shù)據(jù)反求）
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具體的解決思路：# F. E0 _4 c- E8 y& A. T: k/ ] e
為了便于理解,，我對(duì)機(jī)床軸和坐標(biāo)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系做一個(gè)描述：令機(jī)床軸X軸的中點(diǎn)作為坐標(biāo)的原點(diǎn),，坐標(biāo)軸X軸的正向?yàn)闄C(jī)床軸X軸行程的正向，這樣,，這個(gè)問題中700mm的行程可以在坐標(biāo)軸上對(duì)應(yīng)為為X軸的-350,，-320，…,，0,，…，320,，350,，單位為毫米，坐標(biāo)軸Y軸和機(jī)床Z軸重合,，方向一直,，單位為微米。
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1.如何根據(jù)輸入的幾個(gè)點(diǎn)求整條軸的直線度?
) D; b/ P+ U: |* C這個(gè)問題比較簡(jiǎn)單,，只要在坐標(biāo)軸上畫出每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的X軸Z方向的直線度測(cè)量數(shù)據(jù),，然后通過最小二乘法擬合出一條直線，每個(gè)點(diǎn)與該直線的豎直距離（注意是Z方向差值的絕對(duì)值,，而不是點(diǎn)到直線的垂直距離,，這個(gè)具體可以參考最小二乘法的定義及求法）的差值即為該點(diǎn)的偏差值,，這個(gè)行程上點(diǎn)與點(diǎn)之間偏差值的差的最大值就是X軸在Z方向的直線度,。下面就以圖2的檢測(cè)數(shù)據(jù)為例編程求出該機(jī)床的X軸Z方向直線度（圖4）,。
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圖4 X軸Z方向的直線度求法模擬
1 @7 P% q* G! |/ c8 g- z8 f由圖中可以看出，用該方法求出的偏差值及直線度誤差與系統(tǒng)給出的完全一致,，這里給出的精度甚至更高,。（具體的編程代碼我就不給出了，熟悉編程的朋友可以自己去編個(gè)看看）
2.如果該直線度的走向有規(guī)律可循,，如何找到該規(guī)律,？換言之，該直線度的走向能否被一條曲線擬合,，如果能,，那曲線的方程應(yīng)該是什么？
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上面既然求出了每個(gè)點(diǎn)的實(shí)際偏差值,，問題就簡(jiǎn)單了：把實(shí)際偏差值輸入到坐標(biāo)軸中,，用合適的曲線模擬出偏差的趨勢(shì)或走向，用的當(dāng)然還是最小二乘法,。至于擬合曲線的選取,，我這里選擇了二次曲線，當(dāng)然讀者也可以選更高次的曲線模擬,。（圖5）
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圖5 用二次曲線擬合直線度偏差點(diǎn)
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從圖中可見,，模擬的效果還是不錯(cuò)的，點(diǎn)的位置基本上符合了二次曲線的規(guī)律,。
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3.如果我手上有幾十臺(tái)該直線度的檢測(cè)數(shù)據(jù),，我如何來求得最適合的一條擬合曲線？
$ ?& g' \& g5 r, A) b+ x5 F從問題2中我們可以求得每臺(tái)機(jī)床的直線度情況,，但是供應(yīng)商加工鑄件的精度在一定范圍內(nèi)是隨機(jī)的,，這就需要我們從大數(shù)據(jù)中求得最適合的一條曲線，通過該條曲線的加工補(bǔ)償,，可以使得每臺(tái)機(jī)床直線度都不至于偏離太遠(yuǎn),。這個(gè)最適合應(yīng)該怎么定義呢？我還是使用最小二乘法的原理,，在軸的每個(gè)特定位置求出剛剛擬合出的幾十條曲線的直線度偏差值,，然后找到該位置上的一個(gè)偏差值使得該值到其他機(jī)床在該位置偏差的距離的平方和最小，如此再做最小二乘擬合,，所得的二次曲線便是幾十臺(tái)機(jī)床直線度誤差的平均值了,。（圖6）. y x7 N$ K3 q; W. q6 E
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圖6 多臺(tái)機(jī)床直線度數(shù)據(jù)擬合
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本次我一共擬合了10臺(tái)的數(shù)據(jù)，得到了上述的表達(dá)式和函數(shù)圖像
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4.如何求得3中提出來的擬合曲線的補(bǔ)償曲線,？
$ i% L4 r4 |* L, ^" L上面的曲線方程出來以后,，這一步也就可以順利解答了，只要把上面的方程按X軸對(duì)稱即可得到補(bǔ)償函數(shù),，當(dāng)然這個(gè)函數(shù)還不是我們要的,，為了方便加工,，給出的函數(shù)需要假設(shè)兩頭為0，中間高,，從而讓加工廠不必費(fèi)力再去計(jì)算各點(diǎn)的差值,，直接從函數(shù)中就可以計(jì)算出每個(gè)點(diǎn)的補(bǔ)償值。（圖7）當(dāng)然考慮的實(shí)際的精度,，中間一項(xiàng)可以刪除,。從而得到更加簡(jiǎn)潔的函數(shù)表達(dá)式。
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圖7 最終得到的可用于加工的補(bǔ)償函數(shù)及圖像
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5.補(bǔ)償曲線求好后,，如何反推其正確性（通過已有的機(jī)床直線度數(shù)據(jù)反求）
把上面求出的補(bǔ)償曲線與每臺(tái)機(jī)床的直線度誤差曲線合并后,，再使用步驟1的方法可以得到補(bǔ)償后的結(jié)果。（圖8）
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) H& g/ E0 w/ F圖8 補(bǔ)償前后直線度誤差對(duì)比
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; \% L/ G' z2 A: _& T2 W- a 由上圖可以看出,，補(bǔ)償后的直線度誤差沒有超過6微米的,，除了第5臺(tái)機(jī)床，其他的都要明顯好于補(bǔ)償前的結(jié)果,。
: q! P. ^! [) v. q結(jié)論：8 Q. l3 C s. G8 [% @; {% ^! H% O
通過機(jī)械的補(bǔ)償可以達(dá)到預(yù)期的效果,，但是值得注意的是，補(bǔ)償后的誤差仍然可以通過系統(tǒng)插值法來進(jìn)一步補(bǔ)償,。而軟件補(bǔ)償是針對(duì)單臺(tái)機(jī)床來說的,，從下圖可以看到，如果需要,，二次補(bǔ)償后直線度在1微米之內(nèi)甚至更高精度要求內(nèi)完全沒有問題,。
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( g" S" c+ s$ _, X( {圖9 補(bǔ)償后的偏差仍然可以通過二次曲線在軟件中補(bǔ)償
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